افتح القائمة الرئيسية

دائرة

شكلٌ مُغلقٌ بسيطٌ مُستوٍ في الهَندسِةِ الإقليدية
(بالتحويل من الدائرة)

الدَّائرَة هي شكلٌ مُغلقٌ بسيطٌ مُستوٍ في الهَندسِةِ الإقليدية تُعرَّف على أنّها المحلَ الهندسيُّ لمجموعة غير منتهية من النقاط الواقعة في المستوى والتي تبعد بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما.[ملاحظة 1][1][2][3] تُعرَف هذه المجموعة غير المنتهية من النقاط على أنها مُحيط الدائرة أو المُحيط. بينما النقطة الثابتة فتُسمَّى مركز الدائرة. وأخيراً، تُسمّى المسافة من أي نقطة على المحيط إلى المركز نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً.

دائرة
أساسيات الدائرة.svg
رسم توضيحي للدائرة، يُوضِّحُ القطرَ ونِصفَ القطرِ والوترَ وقوساً منها والمحيطَ.
أضلاع ورؤوس حافة واحدة
المساحة ط نق2
المحيط 2ط نق
زاوية داخلية (درجة) عديمة الزَّوايا.
خصائص مُنحنىً.

ينتج عن قسمة مُحيط الدّائرة على قطرها الثّابت الرّياضي (ط). حاول المصريون القدماء والبابليّون سابقاً إيجاد مساحة الدائرة. وقد كانت الدّائرة محطَّ اهتمامٍ بالأخص عند الإغريق القدماء. حيث حاول أرخميدس تحويل الدّائرة إلى مربع ذو المساحة ذاتها باستعمال فرجار ومسطرة فقط ولكنّه فشل في ذلك. أُطلق على عملية تحويل الدائرة إلى مربع اسم "تربيع الدائرة".

محتويات

المصطلحات والترميزعدل

يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة ونصف قطرها [ملاحظة 2] رياضيَّاً بالرموز: «» و«» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة » للإشارة إليها.[1] ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «د».

المصطلح التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني ملاحظة صورة
المركز أو نقطة المنتصف أو النّقطة المركزية هي نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.[2] م أو [ملاحظة 3] تعريفات الدائرة الرئيسة.svg
المحيط مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.[2] مح [ملاحظة 4]
المساحة قياس السطح المحصور بمحيط الدَّائرة. م [ملاحظة 5]
نصف قطر أو الشعاع هو قطعة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.[2] نق [ملاحظة 6]
وتر قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.[1] -
قطر وتر مار بمركز الدائرة. ق [ملاحظة 7]

الأجزاءعدل

الجزء التّعريف / الملاحظات الرمز صورة
قوس جزء متّصل من محيط الدائرة. قوس-قطاع-قطعة.svg
قطاع المساحة المنحصرة بين نصفي قطر والقوس الواصل بينهما.[2]
قطعة المساحة المنحصرة بين وتر والقوس الذي يحصره.[2]
قرص منطقة المستوى التي تحصرها الدائرة Circle Grey Solid.svg
نصف قرص المنطقة المحصورة بين القطر والقوس الممتد من طرفيه.[ملاحظة 8]

النتائج التحليليةعدل

القطر والشعاععدل

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة .[1][4] يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر[ملاحظة 9] يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.[1][2]

المحيط وثابت النّسبةعدل

ثابت النِّسبة هو طول مُحيط دائرة قطرها وِحْدة واحدة.

وجد العلماء[ملاحظة 10] أن النسبة بين طول قطر الدائرة وطول محيطها ثابتة[ملاحظة 11] ويُرمز لها بـ «ط أو ».[ملاحظة 12][2][5] يُربط بين ثابت النّسبة ط وبين القطر والمُحيط بالمُعادلة التّالية، مع اختلاف بعض الصّيغ المُشتّقة منها:[2]

في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعمل تقريب لقيمة ط، وهو غالباً التقريب المُشتق من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة ط:

المساحةعدل

توضيح للطريقة المُستخدمة في استنتاج قانون مساحة الدائرة تقديريّاً.

تتناسب مساحة الدّائرة طرديّاً مع مُربّع نصف القطر بثابت تناسب . ومساحة الدائرة هي أكبر مساحة من بين الأشكال نسبةً إلى محيطها. وهذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات تُسمَّى متباينة المحيط الثابت.

استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. فكرة المفهوم قائمة على تقسيم قرص الدّائرة إلى قطاعات وجمعها. بعد التقسيم، يظهر مستطيل طوله وعرضه . وعلى هذا تكون مساحة الدّائرة مُكافئة لمساحة المُستطيل بالقانون:[2][5]

الأقواسعدل

القوس التعريف قياسه الترميز صورة
القوس الأصغر القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين نقطتين على الدَّائرة. يُساوي قياس الزَّاوية المركزية المُقابلة له، ويقل قياسه عن .
القوس الأكبر القوس الأطول الذي يصل بين نقطتين على الدَّائرة. يساوي قياس الزاوية المركزية المقابلة له، ويزيد قياسه عن .
نصف الدَّائرة قوس تقع نقطتا طرفيه على قطر الدَّائرة. قياسه .
النقطتان تقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أكبر، وقوس أصغر.

إذا كانت نقطتين مختلفتين على دائرة فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر : وهو مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية الداخلية، والقوس الأكبر وهو متمم القوس الأصغر للدائرة كاملةً، النقطتان هما طرفا كل من القوس والوتر وبالإمكان التعبير عن القوس بالتعبير: القوس يواجه الوتر . لاحظ أنَّ إذا كانت نقطتين متقابلتين قطريَّاً، فإن كلاً من القوسين المقابلين لهما يُسمَّى نصف دائرة، وأن كل قطر يُحدد نصفين للدائرة.[1]

يُعبِّرُ مصطلح «قياس القوس» إلى قياس الزاوية المركزية التي تحصر القوس، وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسها بالدرجات . من ذلك فإن قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز لهما القياس نفسه؛ لاشتراكهما في قياس الزاوية المركزية. ويتطابق قوسان من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه.[1]

القياسعدل

هناك قياسان شهيران للقوس:

الدرجة الراديان
Protractor Rapporteur Degrees V3.jpg Angle radian.svg
يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه من قياس الدائرة كاملةً. يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية .

الطُّولعدل

إذا كان طول القوس يساوي ، فإنَّ النسبة بين طول القوس إلى مُحيط الدَّائرة يُساوي نسبة قياس القوس إلى قياس الدَّائرة كاملةً.

التَّطابُقعدل

مبرهنة — في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما.[1]

مبرهنة — أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.[1]

مبرهنة — مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح.

مبرهنة — مبرهنة: الوتر الأكبر يبعد بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.


الزواياعدل

التصنيف التّعريف / الملاحظات صورة
زاوية مركزية[ملاحظة 13] زاوية محصورة بين نصفي قطرين[1] ويُرمز لها بـ [2]  
زاوية محيطية[ملاحظة 14] زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط
زاوية مماسية زاوية محصورة بين مماس وأي وتر فيها يمر بنقطة التماس
زاوية خارجة الزاوية الخارجة عن رباعي دائري هي زاوية امتداد أحد زواياه المحيطة  
زاوية داخلية زاوية ناتجة عن تقاطع وترين داخل الدَّائرة  
زاوية خارجيَّة زاوية محصورة بين قاطعين

حالات الزاوية المحيطية
الحالة الأولى الحالة الثَّانية الحالة الثَّالثة
     
يقع مركز الدَّائرة خارج الزَّاوية المُحيطيَّة يقع مركز الدَّائرة على أحد ضلعي الزَّاوية المُحيطية يقع مركز الدَّائرة داخل منطقة الزَّاوية المُحيطيَّة
 
نظرية طالس تنص على أن الزاوية المُحيطيّة للقطر قائمة.
  • الزاوية المركزية تُساوي ضعفَ الزاوية المُحيطية المُشتركة معها على القوس نفسه.[6]
    • نتيجة: الزوايا المحيطية التي تحصر القوس نفسه متساوية.[6]
    • نتيجة: الزاوية المُحيطية التي تحصر قطراً قائمةٌ.[6]
  • الزوايا المُحيطية المُتساوية تحصر أقواساً مُتساويةً وأوتاراً متساوية والعكس صحيح.[6]

الزوايا الخارجيَّة والزوايا الدَّاخليَّةعدل

  • الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعاها.[6]
  • الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعاها.[6]

الزَّاوية المماسيَّةعدل

تُساوي نصف قياس القوس الذي تحصره.[6]

القياسعدل

موقع رأس الزَّاوية نماذج قياس الزَّاوية
على مركز الدَّائرة قياس القوس المقابل نفسه
على الدَّائرة نصف قياس القوس المقابل
داخل الدَّائرة نصف مجموعي قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس
خارج الدَّائرة نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها

المُستقيماتعدل

تُصنَّف المستقيمات بالنسبة لدائرةٍ ما حسب عدد نقاط تقاطعها معها:

التصنيف التعريف رياضياً صورة
مستقيم قاطع مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين. المستقيم قاطع للدائرة إذا وفقط إذا كان بُعد المركز عن المُستقيم[ملاحظة 15] أصغر من نصف قطرها.
 
 
مستقيم ماس مستقيم يُمسّ[ملاحظة 16] الدَّائرة في نقطة وحيدة. المستقيم ماس للدائرة إذا وفقط إذا كان بُعد المركز عن المُستقيم[ملاحظة 15] مُساوٍ لنصف قطرها.[1][6]
 
مستقيم مار مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. المستقيم مار للدائرة إذا وفقط إذا كان بُعد المركز عن المُستقيم[ملاحظة 15] أكبر من نصف قطرها.[1]
 
مستقيم منصف مستقيم يمر بمركز الدائرة.[1] المستقيم قاطع للدائرة إذا وفقط إذا كان بُعد المركز عن المُستقيم[ملاحظة 15] معدوم.
 

المستقيمات المماسةعدل

  • المماس عند نقطة التماس يتعامد مع بنصف القطر الواصل بينها وبين المركز.[1][6]
  • المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.[1][6]

إذا كانت  نقطة على دائرةٍ ما في المستوى الإحداثي نصف قطرها  ، فإن المماس المنطلق منها تُكتَب مُعادلته على الشكل:

 

الأوتارعدل

  • طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن  .[1]

البرهان:

ليكن  وتراً في الدائرة  . من متباينة المثلث:  لكن  إذن  وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون  قطراً في الدائرة.[1][ملاحظة 17]

  • العمود المنصف لوتر يُنصف القوسين اللذان يحصرهما ويمر بمركز الدائرة.[1]
  • يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافة واحدة من مركز الدائرة.[1]
  • الوتران الموازيان في دائرة يقسمانها يحصران قوسين متساويي الأطول.[1]
  • القطر العمودي على وتر في دائرة يُنصِّفه ويُنصِف كلاً من قوسيه. القطر الذي يُنصِّف وتراً (ليس قطراً) في دائرة يكون عموديَّاً على هذا الوتر. العمود المنصف لوتر في دائرة يمر بمركز الدَّائرة.

قوُّة النُّقطةعدل

قوة النُّقطة
الاسم النص صورة
نظرية قِطَع الوتر إذا تقاطع وتران في دائرة فإن حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الثاني[6]  
نظرية القاطع إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه، يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه.[6]
نظرية قاطع التماس إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب ول القاطع في طول الجزء الخارجي منه.[6]  

خط القوَّةعدل

خط القُوَّة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis) هو المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.[6]

  • خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما.[6]
  • خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.[6]
  • خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.[6]
  • خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.[6]
  • لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامة واحدة، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.[6]

النقاطعدل

هُناك ثلاث حالات ممكنة لموقع نقطة ما بالنسبة إلى دائرة مُعطاة في المستوى نفسه تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة:

التصنيف التعريف الترميز صورة
نقطة داخلية تقع النقطة داخل الدائرة إذا وفقط إذا كانت المسافة بين المركز والنقطة أصغر من نصف القطر.[3]
 
 [ملاحظة 18] أو  [ملاحظة 19]  
نقطة مُحيطيَّة عند كون المسافة بين المركز والنقطة مساوية لنصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة.[3]
 
 [ملاحظة 18] أو  
نقطة خارجيَّة عند كون المسافة بين المركز والنقطة أكبر من نصف القطر، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.[3]
 
 [ملاحظة 18] أو  [ملاحظة 20]
نقطتان متقابلتان أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة[1]
 
 

النقاط الدَّاخليَّةعدل

تُعرَّف نقاط الدائرة الداخلية على أنها مجموعة نقاط   في المستوى   بحيث    .[1][3][4] [ملاحظة 21] مجموعة النقاط الداخلية مجموعة محدبة.[1]

البرهان:

لتكن  ولتكن   من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن  ، ولأن  على القطعة المستقيمة  فهذا يعني أن إحدى الزاويتين  غير منفرجة[ملاحظة 22]. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ  ، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث  :  إذن  .[1]

النقاط المُحيطيَّةعدل

النقطة المحيطية هي أي نقطة تنتمي إلى  كما سبق تعريفها.[1][3][ملاحظة 23]

النقاط الخَارِجيَّةعدل

تُعرَّف نقاط الدائرة الخارجية على أنها مجموعة نقاط   في المستوى   بحيث   [1][3][ملاحظة 24]

نقطتان متقابلتانعدل

وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. وتُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:[1] 

أجزاء الدائرةعدل

القرصعدل

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:[1] .

القطاععدل

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.[2]

 

تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى  مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة  .

أزواج الدَّوائرعدل

دائرتان متطابقتان دائرتان متحدتا المركز دائرتان منطبقتان
تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما.[1] دائرتان يشتركان في المركز نفسه. دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.
     
   التي نصف قطرها  و التي نصف قطرها  دائرتان متحدتا المركز.
دائرتان متباعدتان دائرتان متماستان دائرتان متقاطعتان
دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان.
    خارجيَّاً داخليَّاً    
دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى
   

دائرتان متقاطعتانعدل

الاتحاد المركزيعدل

التطابقعدل

المماسَّات المُشتَرَكَة والمُستقيمات الخاصَّةعدل

التصنيف التَّعريف الترميز صورة
خطُّ المركزين خط مستقيم يصل بين مركزي دائرتين  
وتر مُشترك وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين
مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ أو مماس خارجي، هو خط مستقيم يمس كلتا الدائرتين في نقطة واحدة ويقطع امتداد خط المركزين.  
مماسٌ مشتركٌ داخليّ أو مماس داخلي هو خط مستقيم يمس كلتا الدائرتين في نقطة واحدة ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين.  
قطعة التماس قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين

خط المركزينعدل

  • خط المركزين لدائرتين متقاطعتين عموديّ على وترهما المُشترك ويُنصِّفه.
  • نقطة التماس لدائرتين تقع على خط المركزين أو على امتداده.
  • طول قطعة التَّماس بين دائرتين يُساوي الوسط الهندسي لأنصاف أقطارهما.

أشكال مُركَّبةعدل

المصطلح التّعريف الترميز العربي التّرميز اللاتيني صورة
حلقة شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز.  
عدسة تقاطع قرصين.  
أربيلوس أنصاف دوائر تشترك في قاعدة ما  

العلاقات بين الدَّوائر والمُضلََّعاتعدل

الرُّباعيُّ الدَّائِريّعدل

تعريفهعدل

يكون الشكل الرُّباعي دائريَّاً إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط الآتية:[6]

  • وُجدت نُقطة داخل الرُّباعي بحيث تبعد بعداً متساوٍ عن رؤوسه.
  • وُجدت زاويتان مُتقابلتان منه مُتكاملتان.
  • وُجدت زاويتين متساويتين رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهة واحدة من قاعدته.

المُثلَّثعدل

الدَّائرة المُحيطة لمثلثعدل

  • لكل مُثلّث[ملاحظة 25] توجد دائرة وحيدة تمر برؤوسه.

البرهان: لتكن  ،  ،   ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين   وَ  غير متوازيين لانعدام استقامة النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي  ، وبما أن   فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها  .

الدَّائرة الدَّاخليَّة لمثلثعدل

لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث

لكل مثلث توجد 3 دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه.

دائرة النُّقاط التسععدل

مضلَّع مُحيط بدَائرةعدل

المُضلَّع المُحيط بالدَّائرة هو مضلع تمس جميع أضلاعه دائرة وحيدة. وتُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرة الدَّاخليَّة للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ.

المضلَّعات المُنتظمةعدل

التعاريفعدل

يُمكن وصف الدائرة على أنها حالة خاصة من الإهليلج، وتكون حين تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره. وتوصف أيضاً بأنّها الشكل الذي يحصر أكبر مساحة نسبةً إلى طول مُحيطه. وفقاً لتعريف الدّائرة والذي ينص على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فيمكن إعادة صياغة التّعريف إلى أن الدائرة هي منحنىً مغلق أحادي البُعد وبشكل مكافئ هي مُنحنىً ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى.[ملاحظة 26] وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزئين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة[ِ 1]، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ ولكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

التَّسميةعدل

تعودُ تسمية الدائرة في اللغة العربية إلى الفعل «دار» أو الجذر «د و ر»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة».[7][8][9] وفي اللغة الإنجليزية يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle) إلى الكلمة الإغريقية κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)،[ِ 2] والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».

نظرية المجموعاتعدل

إذا وقع مركز الدائرة  على المستوى   فإن الدائرة تُعرَّف رياضيَّاً باستخدام نظرية المجموعات:[1][4]

 
وتُقرأ: الدائرة التي مركزها   ونصف قطرها   هي مجموعة جميع النقاط  التي تنتمي إلى المستوى  ، وتبعد المسافة   عن النقطة  .[1][4]

الإحداثيات الديكارتيةعدل

 
دائرة شعاعها  ، ومركزها   مساوٍ إلى  .

في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة   هي مركزٌ لدائرة   نصف قطرها  ، والنُّقطة   مُتغيّرة على مُحيط الدائرة، فإن من تعريف الدائرة أن البُعد بين النقطتين   هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى  ، وبذلك تُستنتج مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي بالشكل الآتي:[3]

 

وهذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر  . وعندها تُصبح المسافتان   و  هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية.

في المُستوى الإحداثي، هناك ثلاث مواضع للدائرة بالنّسبة للمحاور الإحداثيَّة، وتُعتبر مُعادلة كلٌّ منها حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية:

  1. دائرة المركز: عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل   تُصبح المُعادلة بتعويض قيم  :[3]
      وبالإمكان كتابة هذه المعادلة على شكل معادلة وسيطية (ويُطلق عليها اسم معادلة بارامترية أيضاً) باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام:
     
      حيث أن   وسيط تتغير قيمته بين العددين   و  . هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيط الزاوية التي يكونها الشعاع المار من النقطتين   و   مع محور السينات. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:
     
     
  2. دائرة مماسّة لمحور السينات: إذا كانت الدائرة تمس محورَ السيناتِ تُصبح المُعادلة على الصورة:  .[3]
  3. دائرة مماسّة لمحور الصادات: إذا كانت الدائرة تمس محورَ الصاداتِ تُصبح المُعادلة على الصورة:  .[3]

بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان   قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين   هي   بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة   على مُحيط الدائرة وبما أن   قُطر في الدائرة، فإن   وعليه فإن  ، ليكن ميل المستقيمين   هما على الترتيب، حيث:[3]

.

 
ولِكَوْن   فإن   وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:[3]

 

مركز الدَّائرة المُحيطة لمثلثعدل

الإحداثيات القطبيةعدل

في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها   ومركزها عن النقطة   يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث  ، حيث أن النقطة   تُعبّر عن أي نقطة على الدائرة، على الصورة:[3]

 

حيث أن   هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و   هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة   فإن   وَ   وبالتالي تأخذ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة:  .[3]

وعند كون مركز الدائرة عند النقطة   تأخذ المعادلة الصورة:  .[3]

المستوى العقديعدل

في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة  . وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي :  .

التناظرعدل

الدائرة هي أكثر الأشكال تناظراً، أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة يحقق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زمرة تماثل الدائرة هي زمرة متعامدة.

الرسم والإنشاءعدل

 
يُستخدم الفرجار في الرسومات الهندسية الدقيقة للدوائر، وأخذ قياسات الأضلاع ومطابقتها.

الفرجارعدل

مرسامعدل

 
تُستخدَم حواف المرسام لرسم الدوائر الصغيرة أو طلائها بالبخاخ والدهان على الجدران.

دوائر خاصَّةعدل

دائرة الوِحْدَةعدل

مبرهنات ومسائلعدل

تربيع الدائرةعدل

تربيع دائرة هي معضلة وضعها علماء الهندسة القدامى، تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة.

في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-ويرستراس التي تُبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير جذري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).

في الأبعاد الأخرىعدل

الكرةعدل

تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.

الأُسطوانةعدل

كتب ومؤلفاتعدل

كتاب العناصرعدل

التاريخعدل

 
يرجع تاريخ هذه الرسمة إلى القرن الثالث عشر الميلادي. يرمز فيه الفرجار إلى الخلق حسب بعض المعتقدات. وتظهر ما تُسمَّى بـ«هالة القداسة» دائريَّة الشكل.

عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة - جوهريّاً - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».[ِ 3][ِ 4]

عهد حضارة المصريين القدماءعدل

تقدير لمساحة الدائرة في بردية بيبرس، الشّكل المرسوم في البرديّة أعلاه هو ثماني غير منتظم.
بردية ريند الرياضية التي وُجد عليها حسابات تقدير الدائرة.

إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق.[ِ 5] ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:

 

نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.[ِ 5]

عهد الحضارة البابليّةعدل

استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة.[ملاحظة 27] بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:[ِ 5]

 

بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ هيبارخوس. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي "المجسطي".[ِ 5]

عهد الإغريقعدل

يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت العديد من المؤلفات الهامة، ونُسبت العديد من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

طالسعدل

يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص النظرية المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.[ِ 5]

أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره بارمنيدس:[ِ 6]

«الدّائرة قد تكون ذلك الشّكل الذي أطرافه تحمل نفس البُعد من المركز.» – أفلاطون، بارمنيدس

إقليدسعدل

غلاف كتاب العناصر المُترجم إلى الإنجليزيّة سنة 1570م.
أقدم مخطوطة لكتاب إقليدس العناصر باللغة اليونانية (حوالي 100 قبل الميلاد)، عثر عليها في منطقة البهنسا الأثرية، وهي من الجزء الثاني من الكتاب.

لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم, يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:[ِ 7][ِ 5]

«الدّائرة هي شكل مُسطّح يحصره خط واحد، وبحيث جميع الخطوط المستقيمة مرسومة من نقطة مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً. » – إقليدس، كتاب العناصر

كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

أرخميدسعدل

أثبت أرخميدس في دراساته "كرسيمس" أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر.[ِ 8] وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: "كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً". وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة   برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر:  . ومن المتباينة  يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن  . ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى  . وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.[ِ 9][ِ 6] وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.

في عمل آخر لأرخميدس "على اللوالب"[ِ 8] وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ"لولب أرخميدس". بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.[ِ 10]

أبولونيوسعدل

 
حلٌّ (بالوردي) لمسألة أبولونيوس، الدوائر المعطاة مُلّونة بالأسود.

فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي كونيكي أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.[ِ 5]

قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائر باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.[ِ 5]

أحداث بارزة أخرىعدل

بعض من الأحداث التّاريخية البارزة والهامّة في تاريخ الدائرة:

معرض صورعدل

الترميز الموحدعدل

العلامة تمثيل اليونيكود البرمجي:(Hex) الاسم الإنجليزي
U+25CB WHITE CIRCLE
U+25CF BLACK CIRCLE
U+25EF LARGE CIRCLE
  ◌ DOTTED CIRCLE
  ◍ CIRCLE WITH VERTICAL FILL
  ◎ BULLSEYE
  ◉ FISHEYE

في الأعلام والرموزعدل

في اللغات والثقافةعدل

في التقنية والعلومعدل

في العمارة والفنونعدل

في الطَّبيعةِعدل

براهين وعلاقاتعدل

 
مساحة الدائرة تساوي:   × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم أن مساحة الدّائرة ينبغي -قطعاً- أن تكون أقل من  .[2]

انظر أيضاًعدل

ملاحظاتعدل

  1. ^ في بعض الكُتب يُذكر هذا التّعريف نفسه، مع تقليل المصطلحات لمراعاة المرحلة الدّراسية التي يستهدفها الكتاب. كالتعريف الآتي على سبيل المثال: "الدائرة: هي مجموعة نّقاط على مستوى تبعد البعد ذاته من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدّائرة".
  2. ^ يُشتَرط لنصف قطر الدائرة  أن يكون عدداً حقيقيَّاً موجباً.
  3. ^ O من اللاتينية: Origin بمعنى نقطة الأصل. بينما M من الإنجليزية: Midpoint والتي تعني نقطة المنتصف. بينما جاء الترميز العربي للمصطلح من كلمة «مركز».
  4. ^ من اللاحقة اللاتينية: Circum- والتي تعني يُحيط. ويُقرأ مُحيط الدَّائرة  . بينما جاء الترميز العربي من أول حرفين من كلمة «محيط».
  5. ^ من اللاتينيّة: Area أي: قطعة مستوية وفارغة من مستوى الأرض. بينما جاء الترميز العربي بأخذ أول حرف من «مساحة».
  6. ^ من اللاتينية: Radius بمعنى شعاع. بينما جاء الترميز العربي من حروف البداية لكلمتي «نصف قطر»
  7. ^ من اللاتينية المأخوذة من الإغريقية: Diagonios بمعنى من زاوية إلى زاوية (القطر). بينما جاء الترميز العربي من أول حرف من كلمة «قطر»
  8. ^ نصف القرص هو حالة خاصة من القطعة، ويُعرف أيضاً بأنه أكبر قطعة في الدائرة.
  9. ^ القطر هو حالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هو أطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ"ق" أو "2 نق" حيث أن طوله ضعف طول الشّعاع.
  10. ^ أبرزهم: غياث الدين الكاشي. نسخة محفوظة 08 سبتمبر 2018 على موقع واي باك مشين.
  11. ^ القياس يكون عبر إحاطة مُحيط الدائرة بخيط ثُمّ قياس طوله بعد فرده مستقيماً لاحقاً.
  12. ^ يُقرأً پاي.
  13. ^ سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على نقطةَ المركز.
  14. ^ سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على محيط الدائرة وتحصر جزءاً منه.
  15. أ ب ت ث المسافة بين نُقطة ومُستقيم تُعرف بأنها المسافة العموديّة بين النّقطة والمُستقيم. وتُقاس بقياس طول العمود السّاقط من النقطة على المستقيم، ويُرمز للمسافة بين نقطةٍ ما  ومستقيم ما   بـ .
  16. ^ أو يقطع الدائرة في نقطة واحدة.
  17. ^ لاحظ أن طول قطر الدائرة  ثابت ويساوي  وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.
  18. أ ب ت ترميز النقطة الواحدة.
  19. ^  هو ترميز لمجموعة النقاط الداخلية. و هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة:  والتي تعني داخليّ.
  20. ^  هو ترميز لمجموعة النقاط الخارجية. و هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة:  والتي تعني خارجيّ.
  21. ^ أو بمعنى آخر: عندَ كون المسافة بين المركز والنقطة أصغر من نصف القطر، فإن النقطة تقع داخل الدائرة.
  22. ^ أي: إما أن تكون حادة أو قائمة.
  23. ^ أو بمعنى آخر: عند كون المسافة بين المركز والنقطة مساوية لنصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة.
  24. ^ أو بمعنى آخر: عند كون المسافة بين المركز والنقطة أكبر من نصف القطر، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.
  25. ^ أو يُعبَّر عنه أحياناً بـ: ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.
  26. ^ لاحظ أن تعريف الدّائرة ينص على أنّها "مجموعة نقاط".
  27. ^ وهو في الواقع   ضعف طول القطر أي ما يُساوي تقريباً 3.14 ضعف طول القطر، وهو تقدير قريب نوعاً ما نسبةً إلى ذلك الزّمن.

مراجععدل

باللغة العربيةعدل

  1. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن ه و ي أأ أب أت أث سمحان، معروف؛ التويجري، نجلاء؛ توبان، ليانا (1437هـ/2016م). رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد: الهندسة (الطبعة الأولى). الرياض: العبيكان للنشر. ISBN 978-603-503-866-9. اطلع عليه بتاريخ 6 سبتمبر، 2017م.. 
  2. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش "الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken". Matteboken. مؤرشف من الأصل في 05 سبتمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017. 
  3. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط أديب، عادل نسيم (2009-01-01). الهندسة التحليلية. Al Manhal. ISBN 9796500139 تأكد من صحة |isbn= القيمة: checksum (مساعدة). 
  4. أ ب ت ث Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.
  5. أ ب "الهندسة - الدائرة". www.schoolarabia.net. مؤرشف من الأصل في 01 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017. 
  6. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف صابر، طارق؛ أندريكا، دورين (1434هـ). رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول. الرياض. دار الخريجي للنشر والتوزيع. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م. 
  7. ^ Team، Almaany. "تعريف و معنى دائرة في معجم المعاني الجامع، المعجم الوسيط ،اللغة العربية المعاصر - معجم عربي عربي - صفحة 1". www.almaany.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017. 
  8. ^ مجمع اللغة العربية (2004م). المعجم الوسيط. مكتبة الشروق الدولية. اطلع عليه بتاريخ 14 آب، 2017م. 
  9. ^ عمر، أحمد (2008م). معجم اللغة العربية المعاصرة. القاهرة، مصر: عالم الكتاب. اطلع عليه بتاريخ 14 آب، 2017م. 

بلغات أجنبيةعدل

  1. ^ Ilia Nikolaevich Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri German, 5th edition, Thun and Frankfurt 2001, p. 143.
  2. ^ "Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, κρίκ-ος". www.perseus.tufts.edu. مؤرشف من الأصل في 12 أبريل 2019. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017. 
  3. ^ آرثر كوستلر, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
  4. ^ برقلس, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato" نسخة محفوظة 13 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.
  5. أ ب ت ث ج ح خ د Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3.
  6. أ ب Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
  7. ^ Euclid (2013-05-09). The Thirteen Books of the Elements (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN 9780486157290. 
  8. أ ب بالإنجليزية: Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91  ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat). نسخة محفوظة 7 نوفمبر 2016 على موقع واي باك مشين.
  9. ^ Euklids Elemente. XII, § 2.
  10. ^ Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
  11. ^ "Chronology for 30000BC to 500BC". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2018. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017. 
  12. ^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03. نسخة محفوظة 20 مايو 2017 على موقع واي باك مشين.

وصلات خارجيةعدل