افتح القائمة الرئيسية

في الجبر التجريدي، حقل (بالإنجليزية: Field) أو جسم (بالفرنسية: corps) هو حلقة تبادلية مختلفة عن الحلقة المنعدمة، تحتوي على معاكس جدائي لكل عنصر من عناصرها المختلفة عن الصفر. وبشكل مكافئ، حقل هو حلقة تُكون عناصرها المختلفة عن الصفر زمرة أبيلية تحت عملية الجداء.

محتويات

تعريف وتوضيحعدل

يرمز له   يرمز له أحيانا   هو مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع   والجداء   بحيث تحقق البديهيات التالية:

  1.   حلقة تبديلية.
  2. حيادي الجداء:  
  3. لا تقبل القسمة على صفر:  
  4. المتمم بالنسبة للجداء:  

مثال على الحقل هي مجموعة الأعداد الحقيقية أما مجموعة الأعداد الصحيحية فليست حقلا لأنها لا تحقق شرط المتمم بالنسبة للجداء إلا لعنصرين هما 1 و-1.

المثال الأول: الأعداد الجذريةعدل

انظر إلى كسر وإلى عملية تبديلية وإلى عملية تجميعية.

 

المثال الثالثعدل

لتكن F مجموعة الاعداد الحقيقة التي بصيغة 3 a+b حيث a,b عددان نسبيان {F = { a+b  3 l a,b  Q

الاختبار الثلاثي

1- ( F,+ , . ) هو حلقة تبديلية

2- حلقة لها محايد ضربي هو " 3  0 + 1 = 1 ومحايد جمعي هو 3  +0 =0

3- ( . , + , F ) كل عنصر غير صفري ينتمي إلى F له معكوس ينتمي إلى F

افرض ان a+ b  3   F حييث a , b ليس كلاهما صفر ايضا a,b   Q تحت هذا الشرط   وبخلافه يكون 3  نسبيا

 

 

بما ان (a/(a^2-3b^2 و (b /(a^2 -3b^2- كليهما عددان نسبيان فان المعكوس الناتج ينتمي إلى F

+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O

[1]

المثال الثاني: حقل مكون من أربعة عناصر

· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

التاريخعدل

استعمل مفهوم الحقل بصفة ضمنية (أي بصفة غير مباشرة) عالما الرياضيات نيلس هنريك أبيل وإيفاريست غالوا في عملهما حول قابلية حلحلة معادلات متعددات الحدود بمعاملات جذرية وبدرجات تساوي الخمسة أو تفوقها.

في عام 1857، نشر كارل فون شتاوت عملا له احتوى على نموذج هندسي يحقق الموضوعات اللائي يعرفن حقلا في شكله العصري.

أمثلةعدل

الأعداد القابلة للإنشاءعدل

 
عندما تكون الأعداد 0 و 1 و r1 و r2 معلومة، فإن هذا الشكل يمكن من إنشاء r1·r2

انظر عدد قابل للإنشاء وإلى مبرهنة طاليس.

الحقول المنتهيةعدل

الحقول المنتهية، وقد تسمى حقول غالوا، هي حقول لها عدد منته من العناصر.

بعض المبرهنات الأولىعدل

نظرية غالواعدل

تعتبر من أهم نظريات الجبر. انظر إلى امتداد جبري.

تعميماتعدل

تطبيقاتعدل

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ مقدمة في الجبر المجرد الحديث تأليف د. ديقيد .بيرتون ترجمة عبد العال جاسم

وصلات خارجيةعدل