رباعي توافقي

في الهندسة الإقليدية، الرباعي التوافقي (بالإنجليزية: Harmonic quadrilateral)‏ هو مضلعٌ رباعيٌّ تُوجدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسهِ بحيث جداء كل طولَيْ ضلعَيْه المتقابلين متساوٍ.[1]

إسقاط النسب التبادلية من خط مستقيم إلى دائرة. نقاطُ التقاطُعِ تُمثّل رباعياً توافقياً.

الخواصعدل

 
تعريف أبولونيوس للدائرة.

إذا كانَ   رباعياً توافقياً، و  نقطة منتصف ضلعه القطري  ، فإنَّ:

  • المماسات لدائرته المحيطة في النقاط   والخط المستقيم   إما أن يلتقوا أو يتوازوا.
  • الزوايا   متطابقة.
  • منصفات الزوايا   تتلاقى على  .
  • يُسمّى الضلع القطري   من الرباعي: مستوسط نازلٌ من الزوايا   في المثلثات  .

النسب التبادليةعدل

 
النقاط   مع   مرتبطةٌ معاً تحت تحويلٍ إسقاطيّ. لذا فإن نسبتهم التبادلية ثابتة. تُسمّى الخطوط السوداء الأربعة «حزمة توافقية»، وبمعنىً آخر، فإنَّ أي خط آخر (بالأحمر) يقطع الخطوط السوداء فإنه يحمل نفس النسبة التبادلية.

النسبة التبادلية (بالإنجليزية: Cross-ratio)‏ هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط   على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي:[2]

 
تُعرّفُ النقطة   على أنّها المرافق التوافقي للنقطة   بالنسبة لـ  و . إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي  . وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.[2] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.[2] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط   «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي  ). إنَّ تقاطعَ حُزمةٍ توافقيةٍ مع الدائرة يُنتجُ رباعياً توافقياً.[3]

انظر أيضاًعدل

مراجععدل

  1. ^ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, صفحة 100, ISBN 978-0-486-46237-0 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  2. أ ب ت Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (الطبعة 3d ed). New York: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1. OCLC 4036464. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)صيانة CS1: نص إضافي (link)
  3. ^ The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.

وصلات خارجيةعدل