وتر دائرة

وَتَرُ الدائرةِ هو قطعة مستقيمة واصلةٌ بين نقطتين على الدائرة. يُسمّى أطولُ وترٍ في الدائرةِ قُطراً. بينما الخطُّ القاطع هو امتدادٌ لانهائيٌّ للوتر. يُعمّمُ تعريف الوَترُ ليشملَ أيّ منحنىً بإعادة صياغته على أنه قطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين على منحنىً.

الخصائص والمبرهنات

طول الوتر

تُعطى صيغة طول الوتر بدلالة نصف قطر دائرته المحيطه وزاوية القوس الذي يحصرها: $|{\overline {AB}}|=2R\sin {\alpha }$ :

مبرهنة — طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر.

برهان

ليكن ${\overline {AB}}$ وتراً في الدائرة $C(O,r)$ . من متباينة المثلث: $OB+OC>AB$ لكن $OA=OB=r$ إذن $AB<2r$ وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون $AB$ قطراً في الدائرة.^{[ملاحظة 1]}

مبرهنة — أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.

برهان

بفرض أن الوترين ${\overline {AB}},{\overline {CD}}$ لهما الطول نفسه في الدائرة $C(O,r)$ ، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: $OA=OB=OC=OD=r$ . وعلى ذلك $\triangle OAB\cong \triangle OCD$ ، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.

مبرهنة — مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح.

مبرهنة — مبرهنة: الوتر الأكبر يبعد بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.

عمق الوتر

يُعطى عُمْقُ الوتر بالصيغة: $|{\overline {OM}}|=R\cos {\alpha }$ .

في حساب المثلثات

استُخدمت الأوتار على نطاق واسع في بداية تطور حساب المثلثات. قام أول جدول مثلثي معروف، لم يعد الجدول المثلثي الأول المعروف، الذي أنشأه أبرخش في القرن الثاني قبل الميلاد، موجودًا، ولكنه كان يُجدول قيمة دالة الوتر لكل 7.5 درجة. في القرن الثاني الميلادي، أنشأ بطليموس الإسكندراني جدولًا أكثر شمولًا للأوتار في كتابه «المجسطي» عن علم الفلك، مما أعطى قيمة الوتر للزوايا التي تُراوح من 1/2 درجة إلى 180 درجة بزيادات نصف درجة. كانت الدائرة قطرها 120، وأطوال الوتر دقيقة إلى رقمين ستينيين بعد الجزء الصحيح.^[1]

تعرف دالة الوتر هندسيًا كما هو موضح في الصورة. وتر زاوية هو طول الوتر بين نقطتين على دائرة الوحدة ويقابل الزاوية المركزية. يجب أن تكون الزاوية θ واقعة في المجال $0 < θ \leq π$

(بالراديان). يمكن أن تكون دالة الوتر مرتبطةً بدالة الجيب الحديثة، عن طريق أخذ إحدى النقاط لتكون  $(1 , 0)$

، والنقطة الأخرى هي $(cos θ , sin θ)$ ، تحسب الوتر بتطبيق مبرهنة فيثاغورس:^[1]

\mathrm {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).

تَستَخدم الخطوة الأخيرة صيغة نصف الزاوية. مثلما بُني حساب المثلثات الحديث على دالة الجيب، بُني حساب المثلثات القديم على دالة الوتر. يُزعم أن أبرخش كتب عملاً من اثني عشر مجلدًا عن الأوتار، وكلها مفقودة الآن، لذا من المفترض أن الكثير من المعلومات كانت معروفة عنها. في الجدول أدناه (c هو طول الوتر، وD هو قطر الدائرة)، يمكن توضيح أن دالة الوتر تحقق العديد من المتطابقات المماثلة للمتطابقات الحديثة المعروفة:

الاسم	القائمة على الجيب	القائمة على الوتر
فيثاغورية	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$	$\mathrm {crd} ^{2}\theta +\mathrm {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,$
نصف الزاوية	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,$	$\mathrm {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\mathrm {crd} (\pi -\theta )}}\,$
عامد (a)	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
الزاوية (θ)	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c={\frac {D}{2}}\mathrm {crd} \ \theta$

الدالة العكسية موجودة أيضًا:^[2]

\operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \left({\frac {y}{2}}\right).

انظر أيضًا

هوامش وملاحظات

^ لاحظ أن طول قطر الدائرة $C(O,r)$ ثابت ويساوي $2r$ وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.

المراجع

^ ^ا ^ب Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights (بالإنجليزية), Princeton University Press, pp. 25–27, ISBN:978-0-691-15820-4
^ Simpson, David G. (8 Nov 2001). "AUXTRIG" (FORTRAN-90 source code) (بالإنجليزية). Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. Archived from the original on 2018-11-02. Retrieved 2015-10-26.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.

[1] لاحظ أن طول قطر الدائرة $C(O,r)$ ثابت ويساوي $2r$ وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.

[Maor-2] ا ^ب Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights (بالإنجليزية), Princeton University Press, pp. 25–27, ISBN:978-0-691-15820-4

[Simpson_2001-3] Simpson, David G. (8 Nov 2001). "AUXTRIG" (FORTRAN-90 source code) (بالإنجليزية). Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. Archived from the original on 2018-11-02. Retrieved 2015-10-26.

[ملاحظة 1]

[1]

[2]