افتح القائمة الرئيسية

مبرهنة منصف الزاوية

AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.[1] وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

تعميم المبرهنةعدل

مبرهنة مُنصّف الزّاوية هي حالة خاصّة من القانون النّاص على أنه: في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى   و   فإن:

 

وعندما   تصبح مبرهنة منصف الزاوية.

البراهينعدل

البرهان الأولعدل

 
المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

 

2- مساحة المثلث ADB

 

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

  و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن  .

البرهان الثانيعدل

 
AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

   

في المثلث ADB:

      و (Sin x = Sin (180-x.       و إذا كانت   سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالثعدل

 
المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و   لأن AD منصف A)

 

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و  للتقابل بالرأس)

   

وهو المطلوب إثباته .

انظر أيضاًعدل

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن مبرهنة منصف الزاوية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com.