دوال مثلثية

دوال لزاوية هندسية

في الرياضيات، الدوال المثلثيَّة[1] أو التوابع المُثلثية[2] أو الاقترانات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Functions)‏، وتُسمَّى أيضاً الدوال الزاويَّة أو الدوال الدائريَّة[3] هي مجموعة من الدوال الحقيقيةٌ التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه.[4][5][6] من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والأساسيّة، دالة الجيب، ويرمزُ إليها بالكتابة اللاتينية ، ودالةُ جيبِ التمام، ورمزها ، ودالة الظل، ورمزها .[ملاحظة 1] مقاليب هذه الدوال هم دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: القاطع وقاطع التمام وظل التمام على التوالي.[1]

يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في مصر القديمة واليونان القديمة. وضع الرياضياتي طاليس مبرهنة طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس لحساب المثلثات. بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك الصين والهند والدول الإسلامية والدول الأوروبية، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز الخوارزمي والبتاني وأبو الوفاء محمد البوزجاني وشين كوا وغوا شوجينغ وغيورغ يواخيم ريتيكوس وغيرهم.

يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها نسبةٌ بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على دائرة الوحدة.[ملاحظة 2] عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا دائماً.

هناك عدة تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أو لوران على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوى العقدي.

يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد. التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل علم المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية التثليث التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في القياس البصري ثلاثي الأبعاد [الإنجليزية]؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه القبلة بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد فترة محددة؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويشمل هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.

تعريف الدوالعدل

يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).

التسمية العربية[7] التسمية الإنجليزية[3] التسمية الفرنسية[3] الترميز بالحروف العربية

[8][9]

الترميز بالحروف اللاتينية

[1][10][11][12]

مجال التعريف[ملاحظة 3][13] مستقر[13]
الجَيْب Sine Sinus جا، جب sin جميع الأعداد الحقيقية  
جَيْب التَمَام Cosine Cosinus جتا، تجب cos جميع الأعداد الحقيقية  
الظِل، الظل الأول، الظل القائم أو المنتصب أو المعكوس Tangent Tangente ظا، ظل tan جميع أ.ح. ما عدا   جميع الأعداد الحقيقية
ظِل التمام، الظل الثاني أو المبسوط أو المستوي Cotangent Cotangente ظتا، تظل cot [ملاحظة 4] جميع أ.ح. ما عدا   جميع الأعداد الحقيقية
القاطع، قطر الظل الأول Secant Sécante قا sec جميع أ.ح. ما عدا    
قاطع التمام، قطر الظل الثاني، قطر الظل Cosecant Cosécante قتا csc [ملاحظة 5] جميع أ.ح. ما عدا    

أصل تسمية الدوالعدل

 
(1) رسم توضيحي لسبب تسمية دالة الجيب بهذا الإسم
 
(2) رسمٌ توضيحيٌّ لسبب تسمية الدوال، عند تمثيل الرياضياتيين المسلمين للدوال في دائرة الوحدة واعتبار نصف قطرها OD مقياسًا، فكانت النتيجة كما هي موضحة في الشكل.

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية "Sine" [ملاحظة 6] من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني "انحناء، خليج"، وبشكل أكثر تحديداً "الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة"، "طوق الثوب"، التي تم اختيارها على أنها ترجمة لِمَا تم تفسيره على أنه ترجمة الكلمة العربية الفصيحة "جَيْب" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.[ملاحظة 7] كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية "جيب" التي هي تحريف للكلمة جِيبا التي نشأت في حد ذاتها كنقحرة للكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها jyā / ज्या (المصطلح السنسكريتي لدالة الجيب) إلى "وتر قوس المحارب".[14] في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:[15]

«إن هذه الصناعة إذا أريد إخراجها إلى الفعل بمزاولة الحساب فيها فالأعداد مفتقرة إلى معرفة أوتار قسي الدوائر، فلذلك سمى أهلها كتبها العلمية زيجات من الزيق الذي هو بالفارسية زه، أعني الوتر، وسموا أنصاف الأوتار جيوباً، وإن كان اسم الوتر بالهندية جيبا ونصفه جيبارد، ولكن الهند إذا لم يستعملوا غير أنصاف الأوتار أوقعوا اسم الكل على النصف تخفيفاً في اللفظ»

استُعملت مصطلح "جَيْب" في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر،[16] أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة، كما هو موضّح في الشكل (2).

أما عن الاسم العربي لدالة الـ"ظل"، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فنقول أن طول الظل تساوي n أضعاف المقياس،[14] وعند تمثيل الرياضياتيين المسلمين للدالة على دائرة الوحدة باعتبار نصف قطر الدائرة مقياسًا، فكانت النتيجة هي أنها عبارة عن خط مستقيم يمُس الدائرة، لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك)، على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني "يمُس".[17][18][ملاحظة 8]

بنفس الطريقة مثل طريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (التسمية القديمة لدالة القاطع) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أُطلق عليها اسم "القاطع"،[18] من المحتمل أن الكلمة الإنجليزية secant التي استمدت من اللاتينية "secans" التي تعني "يَقْطَع"، كانت ترجمة للتسمية العربية "قاطع".[17][ملاحظة 8]

أما عن بادئة "co-" (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى "جيب الزاوية المتممة لزاوية[19] أما عن التسمية العربية "جيب التمام"، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة "التمام" باللغة العربية تعني شيء متمم، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 في المثلث قائم الزاوية هي 60 وذلك لأن مجموعهما يعطي 90،[14] التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या "كوتي-جيا" بمعنى "جيب القوس المتمم لقوس"، حيث يعني الجذر الأول للمصطلح "نهاية قوس المحارب" أو "نهاية" بشكل عام، ولكنها تعني في حساب المثلثات "متمم القوس" أو بمعنى آخر "القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية"، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر أنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.[14][20][21]

التاريخعدل

العصر القديمعدل

 
اللوح المسماري المعروف باسم بليمبتون 322، يقال عنها أنها تحتوي على جدول القواطع لخمسة عشر زوايا تتراوح بين 45 و 30 درجة.
 
أبرخش، الملقب بـ "أبي حساب المثلثات"

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.

استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (حوالي 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.[22][23]

تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات.[24] أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم "أبي حساب المثلثات". وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية.[25] في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.[26]

الرياضيات الهنديةعدل

 
تمثال العالم الهندي أريابهاتا (476-550 م) في المركز المشترك بين الجامعات لعلم الفلك والفيزياء الفلكية [الإنجليزية] (IUCAA) في بونه، الهند. يقال عنه أنه هو أول من اكتشف دالة الجيب ووضع أول جدول لها.[14]

كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب "سوريا سيدهانتا"، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية "سيدهانتا" أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية.[25] يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى كل الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" المستخدمة في علم الفلك الهندي للحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ومن العربية إلى اللاتينية.[25][27]

كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ   و   ، مثل:   ، كان ذلك في القرن الثاني عشر.[14]

خط مادهافا السانغماغرامي، في حوال عام 1400، خطوات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية (طالع متسلسلات مادهافا).[28]

عصر الحضارة الإسلاميةعدل

 
تعريف الظل، وظل التمام، والقاطع وقاطع التمام عند رياضياتِيِي عصر الحضارة الإسلامية. حيث أن القطعة المستقيمة AD تمثل المقياس (عمودي في الأعلى وأفقي في الأسفل)، والقطعة المستقيمة OD تمثل ظله
 
محمد بن جابر بن سنان البتاني (854-929 م)، هو أول من وضع النسب المثلثية في تاريخ الرياضيات

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات.[29] باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الرياضيات الهندية[ملاحظة 9]، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى الخوارزمي والمروزي الذين اعتبروا الدوال الأربعة الأخيرة.[14]

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام ويقال أنه أنتج أول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السند هند (الحاوية لجدول الجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.[30] في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام.[31][32]

في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. حيث اعتبرت ظل التمام أنذاك طول ظل المقياس العمودي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بالمزولة. كان يطلق على ظل المقياس الأفقي اسم "الظل المعكوس" التي تسمى ببساطة "الظل" حاليًا، وعلى ظل المقياس العمودي اسم "الظل المستوي".[33] كان يسمى وتر المثلث القائم المقابل (القطعة AO في الشكل على اليسار) "قطر الظل الأول" و"قطر الظل الثاني" التي يطلق عليها الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي.[34] في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات الفارابي، في تعليقاته على المجسطي، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وتعريفها من خلال الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية البطلمية التي طول نصف قطرها 60 (التي تساوي دائرة الوحدة، حيث أن نصف القطر معبر عنه بالنظام الستيني).[35] وضع محمد بن جابر البتاني النسب المثلثية لأول مرة والعلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه.[36] تم تحقيق التوحيد النهائي من قبل أبو الوفاء البوزجاني في النصف الثاني من القرن العاشر، والذي استخدم لأول مرة دائرة الوحدة لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.

ساهم محمد بن جابر البتاني في إدخال أنصاف الأوتار الهندية في الحسابات واستخدم لأول مرة مصطلحي "الجيب" و"جيب التمام" معرفاً إياهما بوصفهما أطوالاً بدلاً من نسب كما نعرفهما اليوم؛[37][38] كما أنه أنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من إلى 90°،[32][39] واكتشف أيضًا قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.[40]

في القرن العاشر، اكتشف أبو الوفاء البوزجاني قانون الجيب للمثلثات الكروية،[41] واكتشف أيضا تلك المتطابقات المثلثية، حيث عبر الرياضياتيون اليونانيون عن تلك المتطابقات بدلالة الأوتار:[31]

 
 
 

طُوِّرت طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية،[42] كما وصفها أبو الريحان البيروني في كتابه القانون المسعودي في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة،[43] كما أنه استخدم الرموز التالية للإشارة إلى الدوال: جا وجتا وظا وظتا وقا وقتا.[7] في نهاية القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة عن طريق الحلول العددية التقريبية التي تم الحصول عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر نصير الدين الطوسي لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك،[44] وصاغ قانون الجيب للمثلثات المسطحة، كما أنه اكتشف قانون الظل.[45] قام غياث الدين الكاشي بالتعبير عن مبرهنة فيثاغورس المعممة (التي أصبحت تطلق عليها الآن "قانون جيب التمام") بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه "مفتاح الحساب"، لذلك، أطلق الفرنسيين على هذا القانون اسم "مبرهنة الكاشي" (بالفرنسية: Théorème d'Al-Kashi)‏ تكريما له؛ وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛[46] مع العلم أن هذه المبرهنة تم التعبير عنها سابقًا من قبل العالم اليوناني إقليدس في كتابه الأصول، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات؛[47] قام الكاشي أيضًا بصياغة المتطابقة التالية:   واستخدمها لحساب جيب الزاوية بوضع   و   ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها؛ ووصل إلى 16 منزلة عشرية. هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ"صيغة فييت" ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من أكتشف تلك الصيغة.[48] في حوالي 1440، وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية أولوغ بيك جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.[49]

الرياضيات الصينيةعدل

لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كيو علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:[50]  

النهضة الأوروبية وما بعدهاعدل

 
صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جدول للدوال التالية: الجيب، والظل والقاطع.

كانت أطروحات العالم الألماني ريغيومونتانوس (خاصةً كتابه عن المثلثات De triangulis omnimodis في 1464) وتعليقاته على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا.[25] علّق في كتابه عن المثلثات:[44]

«أنت من تريد دراسة أشياء كبيرةً وعجيبةً، ومن تتعجب من حركة النجوم، عليك أن تدرس هذه المبرهنات حول المثلثات. معرفتك لهذه الأفكار ستفتح لك الباب لعلم الفلك كله ولبعض المعضلات الهندسية.»

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد (1595 – 1632 م) لأول مرة الاختصارات sin، وcos، وtan في كتابه "Trigonométrie".[51]

ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.[52]

أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".[53]

في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب sin x ليست بدالة جبرية ل x، أي أنها دالة متسامية.[54]

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).[25]

في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنزو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.[55]

الدوال المثلثية التاريخيةعدل

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم "الجيب المنكوس"[56]) وسهم التمام ونصف السهم،[57] القاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.[58]

 
 
 
 
 
 

وحدات قياس الزواياعدل

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءا متساويا، يرمز لها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة علوية.

الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان.[59][60]

الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يرمز لها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير علوي.[61]

الدورة: تعادل 360° أو راديان.

دقيقة وثانية القوس: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الاحداثيات الجغرافية.[62]

وحدة مقدار
درجة 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
راديان 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
غراد 0g 100/3g 50g 200/3g 100g 200g 300g 400g
دورة 0 1/12 1/8 1/6 1/4 1/2 3/4 1

راديان مقابل درجاتعدل

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.[63]

عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية مع مركز الدائرة كرأس. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية.[59][63][64]

ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات.[63]

هذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاويةعدل

يوضح الشكل المقابل مثلثًا قائما [ملاحظة 11] يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها   وزاويتان أخريان حادتان ومتتامتان، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي   أو π/2 راديان.

يسمى الضلع المقابل للزاوية C الوتر (كما هو موضح في الشكل المقابل). عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).

تعرف الدوال المثلثية الرئيسية للزاوية A بـ:[1][65]

  • جيب الزاوية: هو النسبة بين الضلع المقابل والوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر:  
  • جيب تمام الزاوية: هو النسبة بين الضلع المحادي للزاوية ووتر المثلث، بتعبير آخر:  
  • ظل الزاوية: يساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها، أي:
 

وفقًا للتشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:[65]

 
 

كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:[65]

  • ظل تمام الزاوية: هو النسبة بين الضلع المجاور على الضلع المقابل، أي:  
  • قاطع الزاوية: هو النسبة بين الوتر على الضلع المجاور، أي:  
  • قاطع تمام الزاوية: هو النسبة بين الوتر على الضلع المقابل، أي:  

نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب و جيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:[65]

 
 
 
 

ملخص العلاقات

تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:

sin A = المقابل/الوتر ، cos A = المجاور/الوتر ، tan A = المقابل/المجاور ، cot A = المجاور/المقابل ، sec A = الوتر/المجاور ، csc A = الوتر/المقابل

التعريف باستعمال دائرة الوحدةعدل

 
(1) في هذا الرسم، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة إحداثياتٍ ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. الإحداثيات الصادية لكل من A وB وD هن sin θ وtan θ وcsc θ على التوالي. في حين أن الإحداثيات السينية لكل من A وC E هن cos θ وcot θ وsec θ على التوالي.
 
(2) رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر   الذي يصنع زاوية   مع محور السينات[ملاحظة 12] في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية:   فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل:  .
 
(3) يسرد مساعد الذاكرة "All science teachers (are) crazy" إشارات الدوال المثلثية من الربع الأول إلى الربع الرابع.[59][66]

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 و  راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.[67][68]

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ  [ملاحظة 13] دائرةَ الوحدةِ في النقطة   فإنّ الدالةُ   تُعرّف على أنها الإحداثي   [ملاحظة 14] والدالة   هي الإحداثي   [ملاحظة 15] لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ:  . وبرسم مماسٍ من النقطة   يقطعُ محورَي السينات[ملاحظة 12] والصادات[ملاحظة 16] في النقطتين   على الترتيب، فإنَّ  .

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة   باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة   هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة   على دائرة الوحدة تُحقّق   من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم  ، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات   يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس:  .[5][67] وأخيراً فإنَّ المسافات   تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية:   على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة  للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:[69]

 

بما أنَّ دوراناً بزاوية   لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط   ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ  . وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دورة بطول  . بمعنى آخر، المساواةَ   و  صالحةٌ لأي زاوية   ولأي عدد صحيح  . ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي هي الدورة الأساسية لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي (الصورة (1))، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دورة أساسية π.[1]

الدورانعدل

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:

انعكاس حول المحور الأفقي[70] دوران بزاوية π/2 دوران بزاوية π دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح) انعكاس حول المحور العمودي
         
         
         
         
         
         

القيم الجبريةعدل

 
رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام مثلث متساوي الأضلاع.

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.

إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

 
 

المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي √2 مرة طول كل من الساقين، إذن:

 
 

باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:

 

وبالمثل، يتم الحصول على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي √3/2، نتيجة لذلك:

 

إن كتابة البسوط جذورا تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة سهلة لتذكر القيم.[71]

تنص مبرهنة نيفن على أن القيم النسبية الوحيدة لـθ التي تتواجد في المجال   والتي يكون جيبها عدداً نسبياً هي الزوايا ذات القيم 0 و30 و90 درجة.[72] تمتد المبرهنة أيضًا إلى الدوال المثلثية الأخرى وإلى بعض الزوايا.[73] بالنسبة للقيم النسبية لـ θ، فإن القيم النسبية الوحيدة للجيب أو جيب التمام هي 0 و ±1/2 و ±1؛ والقيم النسبية الوحيدة للقاطع أو قاطع التمام هي ±1 و ±2؛ والقيم النسبية الوحيدة للظل أو ظل التمام هي 0 و ±1.[74]

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات نسبية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يتم التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، طالع قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية.[75] وبالتالي قد يتم انشاء هذه القيم للجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والفرجار.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي.[76] تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف ، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد نسبي، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.[76]

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، ثُبتت في عام 1966.[77]

القيم الجبرية البسيطةعدل

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية.[78] يمثل الرمز النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

راديان                  
درجة                  
                   
                   
                   
                   
                   
                   

حساب التفاضل والتكاملعدل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

الاشتقاق والمكاملةعدل

المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:

دالة مشتقها الأول[60] مشتقها الثاني مشتقها من الرتبة n[79] تكامل[59]
         
         
      معقد[80]  
      معقد[80]  
      معقد[80]  
      معقد[80]  

تعريف بواسطة التكاملعدل

يمكن الحصول على تعريف آخر استنادا إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف العلوي للدائرة  ، يمكننا إيجاد العلاقة بين الزاوية   و  وفقًا للمعادلة التالية:[81][82]

 

حيث تنتمي الزاوية θ إلى المجال  .

التعريف بواسطة المعادلات التفاضليةعدل

  • الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:
 
كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية:   (معادلتها المميزة هي  ، جذرها هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة ±i) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.
الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:[83]
 
جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:[83]
 
بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
 
إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:
 


  • نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:  
إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل  ، حيث   و   هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة ( ). أيضا   و   هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.
إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:
 
حيث   هو الجزء الحقيقي و   هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية العقدية إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:[84]
 

باستعمال المتسلسلاتعدل

 
دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.
 
الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة متعددة الحدود لتايلور.
 
  إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور  

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:[85]

 

حيث يرمز n! إلى عاملي عدد.

عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:[86]

 
ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

متسلسلات ماكلورين لكل من الجيب وجيب التمامعدل

  • جيب الزاوية:[87]

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

 
  • جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

 

نصف قطر التقارب [ملاحظة 17] لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوال كاملة، والتي هي (بالتعريف) دوال ذات قيم عقدية (مركبة) وتامة الشكل على مجمل المستوي العقدي.[88]

متسلسلات القوى لباقي الدوالعدل

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع اللتان هي غير معرفة عند π/2 (أو °90)، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي بين /2 و π/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام اللتان هي غير معرفة عند الصفر، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي بين 0 و π وبين و 0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة متسلسلة لوران، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود المرفوعة لِأُس سالب).[89]

بتعبير أدق، نعرف:

Un، هو عدد Up/down من الرتبة n.

Bn، هو عدد بيرنولي من الرتبة n.

و En، هو عدد أويلر من الرتبة n.

 

تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الكاملة. ولذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية الشكل، والتي هي دوال تامة الشكل في كامل المستوي العقدي، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب. هنا، الأقطاب هي أعداد من الشكل   بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو   بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، حيث k هو عدد صحيح كيفي.[90]

يمكن أيضًا حساب علاقات الاستدعاء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.[91]

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يتم استخدام عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من الرتبة n لمتسلسلة بواسطة:[59]

 

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى  ، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى  . بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.[92]

متسلسلات أخرىعدل

هناك تمثيل متسلسلات تحليلا كسريا جزئيا، حيث يتم تجميع دوال المقلوب المزاحة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:[93]
 
يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة خدعة هرغلوتز (Herglotz).[94]

الكسور المستمرة المعممةعدل

كسر مستمر معمم هو تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية حيث تأخذ مقاماته وبسوطه قِيَمًا حقيقية أو عقدية ما.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:[95]

 

فيما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

 
 

متسلسلة الجداء اللانهائيعدل

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:[96]

 

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:[96]

 

باستخدام المعادلات الداليةعدل

يمكننا أيضا تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.[ملاحظة 18]

مثلا،[97] الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:

 

بشرط أن تكون   من أجل  .

في المستوي المركبعدل

يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب بدلالة الدوال نفسها والدوال الزائدية:[98]

 

من الممكن أن نمثل بيانيا الدوال المثلثية دوالا ذات قيم عقدية (مركبة) عن طريق تمثيل بواسطة الألوان. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.[99]

تمثيل الدوال على المستوى العقدي:

            التمثيل البياني لـ z=x+iy التي استخدمت في التمثيلات البيانية.

حيث تمثل عمدة عدد مركب بالألوان، ومعياره بوسائل أخرى، مثل السطوع أو الاشباع اللوني.

الخصائصعدل

زوجية وفرديةعدل

الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتناظر.

جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي دوال فردية، بتعبير آخر:

 

دوريةعدل

الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دورة لها هي 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دورة لها هي π، بتعبير آخر، من أجل عدد صحيح k، لدينا:

 

في تحويل فورييه والمعادلات الموجية، تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية.[59]

استمرارية (اتصال)عدل

إن الجيب وجيب التمام هما دالتان مستمرتان دومٌا وقابلة للإشتقاق ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف بواسطة المثلث القائم والتعريف بواسطة دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامهما هي دالة الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة. لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض الأماكن تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):

  • الظل والقاطع:  
  • ظل التمام وقاطع التمام:  

تعامدعدل

تعتبر دالتا الجيب وجيب التمام دالتان متعامدتان (Orthogonals)، أي:[ملاحظة 19]

 

 

 

تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.[100][101]

تحويلا لابلاس وفورييهعدل

تحويل لابلاس هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلات لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:[ملاحظة 20][102]

  • تحويل الجيب:
 
  • تحويل جيب التمام:
 

تحويلات فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:[ملاحظة 21][103]

  • الجيب:
 
  • جيب التمام:
 

دالة ذاتيةعدل

إن دالتا الجيب وجيب التمام هما دالتان ذاتيتان (Eigenfunctions) لمؤثر لابلاس. على سبيل المثال، إذا كان :   يمثل مؤثر لابلاسي أحادي البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحقق :  ، حيث   هي قيمة ذاتية؛ يمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من التعريف بواسطة المعادلة التفاضلية للدالتين.[104]

حساب القيمعدل

حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على القيم الجبرية الدقيقة لدولِّها المثلثية دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب الخماسي المنتظم.

لحساب قيمة دالة لأي زاوية، يجب على المرء أولاً تقليص مجال الزاوية (على سبيل المثال، من الصفر إلى π/2). يتم ذلك باستخدام كل من خاصية دورية وتناظر الدوال المثلثية.[105]

قبل الحواسيب، حصل الناس بشكل عام على قيمة الدوال المثلثية من خلال استيفاء الجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات. عادة ما يتم الحصول على القيم في الجداول عن طريق استخدام متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة (مثل sin (π/2) = 1).[41]

تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية (Higher-end Processors) ذات وحدات الفاصلة العائمة، في جمع بين تقريب بواسطة كثير الحدود أو بواسطة الدوال الكسرية (مثل تقريب تشيبيشيف، تقريب بادي، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، متسلسلات تايلور ومتسلسلة لوران) وتقليص المدى (Range reduction) والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح.[106][107] على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى مضاعف العتاد، توجد خوارزمية تسمى CORDIC عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.[108]

بالنسبة لحسابات عالية الدقة، عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية، يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط الحسابي الهندسي، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة تكامل اهليلجي (المركب).[109]

متطابقات أساسية و مبرهناتعدل

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية العقدية واستخدام خصائص الدالة الأسية.

متطابقة فيثاغورسعدل

تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، لتكن  ، مع مربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:[60]

 

يجب الانتباه إلى أن الترميز sin2 x + cos2 x يكافئ sin x)2 + (cos x)2).

متطابقات مجموع وفرق زاويتينعدل

تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.

المجموععدل

ويُحسب كما يأتي:[67]

 

الفرقعدل

ويُحسب كما يأتي:[67]

 

متطابقات ضعف الزاويةعدل

عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.[67]

 

يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء.

بوضع   و  هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ   كدالة كسرية لـ  

 

بالإضافة إلى  

هذا هو التعويض بظل نصف الزاوية (ويسمى أيضا تعويض فايرشتراس)، الذي يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.[110]

متطابقات ثلاثية الزاويةعدل

ويُحسب كما يأتي:[111]

 
 
 

متطابقات نصف الزاويةعدل

ويُحسب كما يأتي:[112]

 
 
 

قانون الجيبعدل

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:

 
حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:
 
حيث يشير R إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.[67]

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

 
تمثيل المثلث الكروي ABC

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:[31]

 

حيث a و b و c هن أضلاع المثلث الواقع في سطح الكرة؛ و A و B و C هن الزوايا المقابلة.[ملاحظة 22]

قانون جيب التمامعدل

 
طريقة الكاشي لبرهنة قانون جيب التمام بالنسبة للمثلثات الحادة (باستخدام مثلث حاد محاط بثلاث مربعات). حيث أن المستطيلان الأخضران متقايسان والمستطيلان الأحمران أيضًا متقايسان، يمكن إثبات م.خ التقايس بإثبات تقايس المثلثات JAE و JAB ، و JAB و CAM ، و CAM و FAM بتحريك أحد الرؤوس بالتوازي مع القاعدة وأحدهما بالدوران على أحد زوايا المربعات، ويمكن الإثبات بطريقة مشابهة، المستطيلان الأحمران (طالع الصورة المتحركة)؛ ويمكن إثبات أن المستطيلان الأزرقان متقايسان ومساحة أحدهما يساوي CA × CB × cos C بمعرفة أن CE = CB cos C و CD = CA cos C. يمكن إثبات بالنسبة للمثلثات المنفرجة بطريقة مشابهة.[113]

يعتبر قانون جيب التمام تعميمًا لمبرهنة فيثاغورس على جميع أنواع المثلثات المستوية. ويسمى أيضا مبرهنة الكاشي.[114]

 

وقد تكتب هاته الصيغة كما يلي:

 
حيث C هي الزاوية المقابلة للضلع c.
يمكن إثبات هذه المبرهنة بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام مبرهنة فيثاغورس، أو باستخدام طريقة الكاشي كما هي موضحة على اليسار.[67]
يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام لأي زاوية إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

في حالة المثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:[115][116]

 

حيث a و b و c هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا بجوانب المثلث الكروي) وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي محيط الكرة/360 ما يعادل ط × نصف قطر الكرة/180 والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c.

ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a و b و c معلومة:

 

وهناك صورة أخرى للمعادلة حيث تكون قيم الزوايا الثلاث A و B و C معلومة لنحصل على قيمة قوس مجهول في المثلث الكُرويّ وليكن القوس c كما يلي:[117]

 

ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:

 

قانون الظلعدل

ليكن ABC مثلث، تنص الأشكال الاربعة لقانون الظل على ما يلي:[118]

 

حيث a=BC وb=AC وc=AB.

يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.

أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:[ملاحظة 22][119]

 

قانون ظل التمامعدل

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:

  (نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث)

و

  (نصف محيط المثلث)،

ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:[118]

 

نستنتج أن:

 

مبرهنة الساندويتشعدل

تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال  ، هي كما يلي:[120]

 

تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية:[121] . تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية، طالع تفاضل الدوال المثلثية.

المتباينات المشابهة هي كما يلي:[122]

 

 

 

مبرهنة بطليموسعدل

مبرهنة بطليموس هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا الرباعي الدائري (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع رؤوسه).

ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ1+θ2+θ3+θ4=180°، فإن:[123]

 

صيغة مولفيدهعدل

لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:[124]

 
 

قانون موريعدل

ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:

 

وهي حالة خاصة للمتطابقة العامة:

 

مع   و  .

هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، يحصل المرء على أن:

 

بما أن:

 

هناك متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:

 

زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:[125]

 

الدوال العكسيةعدل

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست متباينة، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية.  ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية رتيبة، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية كدوال متعددة القيم. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم "مجموعة القيم الرئيسية" في الجدول التالي. عادة ما يرمز إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم أو اختصار الدالة.[126]

يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع ابراز كل من مجال تعريفهن ومشتقتهن.

الدالة[3] اسمها بالإنجليزية[3] الترميز[126] التعريف مجال التعريف[67] المجال المقابل (مجموعة القيم الرئيسية)[67] المشتقة[67]
قوس الجيب Arcsine          
قوس جيب التمام Arccosine          
قوس الظل Arctangent     جميع الاعداد الحقيقية    
قوس قاطع التمام Arccosecant       أو      
قوس القاطع Arcsecant       أو      
قوس ظل التمام Arccotangent     جميع الاعداد الحقيقية    

غالبًا ما تستخدم الترميزات sin-1 و cos-1... إلخ لـ arcsin و arccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا الترميز، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين الدوال العكسية والمعاكيس الضربية.[126]

يمنع الترميز بالبادئة "arc" مثل هذا الالتباس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond"(التي تعني "ثانية القوس").[126]

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

 

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات العقدية.[127] طالع دوال مثلثية عكسية لمزيد من التفاصيل.

الدوال الزائديةعدل

 
صورة متحركة للدوال المثلثية (الدائرية) والدوال الزائدية. باللون الأحمر، منحنى معادلته x² + y² = 1 (دائرة الوحدة)، وبالأزرق x² - y² = 1 (القطع الزائد)، مع النقاط (cos(θ),sin(θ)) و (1,tan(θ)) باللون الأحمر و (cosh(θ),sinh(θ)) و (1,tanh(θ)) باللون الأزرق.

الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t, sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t, sinh t) النصف الأيمن للقطع الزائد.[128]

الدوال الزائدية هي:

الدالة[3] الترميز[129] التعريف[129] تعبير بدلالة الدوال المثلثية

[ملاحظة 23]

الجيب الزائدي      
جيب التمام الزائدي      
الظل الزائدي      
ظل التمام الزائدي      
القاطع الزائدي      
قاطع التمام الزائدي      

يعتمد كلا النوعين على عُمدة (Argument)، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

بما أن مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره r وزاويته u هي   ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r = √2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.

سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.[128]

في حالة القطع الزائد الذي معادلته x2 - y2 =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بالشعاع ومحور السينات والقطع الزائد (انظر الصورة (8))، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها x2 + y2 =1 (انظر الصورة (9)).[128]

في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:[128]

 
 
 
 

علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصةعدل

يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

  • دالة بيسل من الرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:
 

حيث يمثل a الرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) كدوال مثلثية على النحو التالي:[130]

 
 
 

حيث تمثل n رتبتها.

يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من الرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:[131]

 

تطبيقاتعدل

حساب المتجهاتعدل

في الرياضيات والفيزياء، تُستخدم المتجهات[ملاحظة 24] (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل كمية متجهة وبالاخص في الفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الجداء القياسي [ملاحظة 25]لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:[132]

 

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:[ملاحظة 26]

 

حيث   هو محدد المتجهتين   و .

الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكرويةعدل

 
تمثيل نقطتين في نظام الإحداثيات القطبية

الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة.[59] تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:[59]

 

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.

المساحاتعدل

  • مثلث: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه a وb والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه:[133]
 
  • متوازي أضلاع: يمكن ايجاد مساحته من خلال معرفة أطوال أضلاعه a وb وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:[134]