دوال مثلثية

دوال متعلقة بالزوايا
شعار مراجعة الزملاء
هذه المقالة تخضع حاليًا لمرحلة مراجعة الزملاء بهدف فحصها وتقييمها، تحضيرًا لترشيحها لتكون ضمن المحتوى المتميز في ويكيبيديا العربية.
تاريخ بداية المراجعة 19 فبراير 2020

في الرياضيات، الدوال المثلثية[1] أو التوابع المثلثية[2] (بالإنجليزية: Trigonometric Functions) وتُسمَّى أيضاً دوال الزاوية أو الدوال الدائرية[3] هي دوال حقيقية تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه.[4][5][6] تُستخدم الدوال المثلثية على مدى واسع من فروع العلوم المتعلقة بالهندسة، مثل علم حساب المثلثات، الملاحة، ميكانيكا المواد الصلبة، الميكانيكا السماوية وعلم المساحة التطبيقية. تُعد الدوال المثلثية دوالاً دوريةً؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه.

يمكن تعريف هذه الدوال على أنها نسبةٌ بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثياتٍ على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية. يعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائماً.

الدوال المثلثية الأكثر انتشارا هي دالة الجيب (يرمز إليها ب Sin) ودالة الجيب التمام (يرمز إليها ب Cos) ودالة الظل (يرمز إليها ب Tg أو Tan)، ومقاليبهم هي القاطع، وقاطع التمام، وظل التمام على التوالي، والتي هي أقل استخداما في الرياضيات الحديثة.

أعلى: الدالة المثلثية sin θ للزوايا المحددة θ، و π − θ، و π + θ، و 2π − θ في الأرباع الأربعة. أسفل: رسم بياني لدالة الجيب vs الزاوية. تم تحديد الزوايا انطلاقا من الصورة العلوية.

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاويةعدل

بالنظر إلى الزاوية الحادة A = θ للمثلث قائم الزاوية، فإن الوتر c هو الضلع الذي يربط الزاويتين الحادتين. الضلع b المجاور لـ θ هو ضلع المثلث الذي يربط بين الزاوية θ والزاوية القائمة. يدعى الضلع الثالث b بالضلع المقابل لـ θ. إذا أعطيت الزاوية θ، فإن جميع الأضلاع المثلث قائم الزاوية معرفة جيدا إلى غاية عامل التدريج. هذا يعني أن نسبة أي طول الأضلاع تعتمد فقط على θ. تحدِّد هذه النسب الست أيضا دوال الست لـ θ، وهي الدوال المثلثية. بتعبير أدق، الدوال المثلثية الست هي:[7]

  • جيب زاوية (Sine/Sinus): هو النسبة بين الضلع المقابل والوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر: المقابل/الوتر = a/c
  • جيب التمام لزاوية (Cosine/Cosinus): هو النسبة بين الضلع المحادي للزاوية ووتر المثلث، بتعبير آخر: المجاور/الوتر = b/c
  • ظل زاوية (Tangent): يساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها، أي: المقابل/المجاور = b/a

في مثلث قائم الزاوية، مجموع الزاويتين الحادتين يساوي زاوية قائمة، التي تقدر بـ 90° أو π/2 راديان.

ملخص العلاقات بين الدوال المثلثية[7]

الاسم الترميز العربي الترميز اللاتيني تعريف العلاقة الرياضياتية
بالراديان بالدرجات
الجيب جا sin المقابل/الوتر    
جيب التمام جتا cos المجاور/الوتر    
الظل ظا tan (أو tg) المقابل/المجاور    
ظل التمام ظتا cot (أو cotan أو cotg أو ctg أو ctn) المجاور/المقابل    
القاطع قا sec المجاور/المقابل    
قاطع التمام قتا csc (أو cosec) الوتر/المقابل   

راديان مقابل درجاتعدل

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.

عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي كطول قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية مع مركز الدائرة كرأس. لذلك، نستخدم الراديان كوحدة للزاوية: الراديان (يسمى أيضا بالتقدير الدائري) هو الزاوية التي تحدد قوس طوله 1 على دائرة الوحدة. دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان.

ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات.

هذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

التعريف باستعمال دائرة الوحدةعدل

 
في هذا الرسم التوضيحي، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة كإحداثيات ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. تراتيب (Ordinates) A، و B، و D هي sin θ، و tan θ و csc θ على التوالي، في حين أن فواصل (Abscissas) A، و C و E هي cos θ، وcot θ وsec θ على التوالي.
 
إشارات الدوال المثلثية في كل ربع. يسرد مساعد الذاكرة"All science teachers (are) crazy" الدوال التي هي موجبة من الربع الأول إلى الربع الرابع.[8]

يمكن تعريف الدوال المثلثية الستة بقيم إحداثي للنقاط على المستوى الإقليدي المرتبطة بدائرة الوحدة، وهي دائرة نصف قطرها يساوي الواحد ومركزها أصل المَعلم O لهذا النظام الاحداثي. بينما تسمح تعريفات مثلث قائم الزاوية بتعريف الدوال المثلثية للزوايا بين 0 و  راديان (90°)، تسمح تعريفات دائرة الوحدة بتمديد مجال الدوال المثلثية لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة.

تدوير نصف مستقيم انطلاقا من انحدار الجزء الموجب لمحور السينات بزاوية θ (عكس اتجاه عقارب الساعة من أجل  ، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل  ) تعطي نقاط تقاطع لهذا نصف المستقيم (انظر الشكل) مع دائرة الوحدة:  ، وبتمديد نصف المستقيم الى مستقيم، مع المستقيم   ،ومع المستقيم  . يقطع خط المماس (الذي هو مماسي على دائرة الوحدة في النقطة A وعمودي على هذا الشعاع (نصف المستقيم)) محور السينات x ومحور الصادات y في النقاط   و  . تعطي قيم الإحداثي لهذه النقاط جميع القيم الموجودة للدوال المثلثية للقيم الحقيقية الإختيارية θ.

يتم تعريف الدوال المثلثية cos و sin على التوالي، على أنها قيم الإحداثي x و y للنقطة A، أي:

  و  .[9]

في المدى   يتطابق هذا التعريف مع تعريف المثلث قائم الزاوية من خلال أخذ مثلث قائم الزاوية لجعل نصف قطر الوحدة OA وترا للمثلث، وبما أن من أجل كل نقاط   على دائرة الوحدة المعادلة   صحيحة، هذا التعريف للجيب وجيب التمام يحقق أيضًا متطابقة فيثاغورس:   .

يمكن العثور على الدوال المثلثية الأخرى على طول دائرة الوحدة كـ:

  و  ،
  و  .

من خلال تطبيق متطابقة فيثاغورس وطرق البرهان الهندسي، يمكن توضيح هذه التعريفات بسهولة لتتطابق مع تعريفات ظل الزاوية، وظل التمام، وقاطع الزاوية، وقاطع التمام بدلالة الجيب وجيب التمام، أي:

 
 
الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (منقط)، القاطع (منقط)، ظل التمام (منقط).

نظرًا لأن دوران بزاوية   لا يغير موضع الشكل أو حجمه، فإن النقاط A و B و C و D و E هي نفسها بالنسبة لزاويتين يكون فرقهما هو مضاعف صحيح لـ  . وهكذا فإن الدوال المثلثية هي دالة دورية ذات دورة  . بمعنى آخر، المساواة   و   صالحة لأي زاوية θ و لأي عدد صحيح k. وينطبق الشيء نفسه على الدوال المثلثية الأربع الأخرى. تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب، وجيب التمام، والقاطع، وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي هي الدورة الأساسية لتلك الدوال. ومع ذلك، بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B و C إلى موضعهما الأصلي، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دورة أساسية π.

حساب القيمعدل

التعبيرات الجبرية لأهم الزوايا هي كما يلي:

  (زاوية مستقيمة)
 
 
 
  (زاوية قائمة)

إن كتابة البسوط كجذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة سهلة لتذكر القيم.[10]

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات ناطقة (Rational) لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات ، تكون مضاعفة للثلاثة، قد يتم التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، انظر ثوابت مثلثية. وبالتالي قد يتم انشاء هذه القيم للجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والفرجار.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي. تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف ، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية. هذا ينتج عن حقيقة أن زمر غالوا لكثير حدود السيكلوتومي [الإنجليزية] هي زمرة دائرية.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، ثُبتت في عام 1966.

القيم الجبرية البسيطةعدل

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية.[11] يمثل الرمز النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنه غير مؤشر، لأنه عندما يظهر في الجدول ، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

راديان                  
درجة                  
                   
                   
                   
                   
                   
                   

حساب التفاضل والتكاملعدل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتحديد الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك ثلاث امكانيتات متساوية، إما باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية أو التكامل. هذه التعريفات متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

تعريف بواسطة التكاملعدل

تعريف دالة الجيب بواسطة مثلث قائم الزاوية ليس دقيقًا من الناحية الرياضية لأن مفهوم الزاوية (أو طول القوس في دائرة الوحدة) غير مذكور بدقة. يمكن الحصول على تعريف آخر استنادًا إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. بالنظر إلى معادلة الدائرة   والبحث عن طول القوس، يمكننا إيجاد العلاقة بين الزاوية   و   وفقًا للمعادلة التالية:[12][13] 

حيث تنتمي الزاوية θ إلى المدى  .

التعريف بواسطة المعادلات التفاضليةعدل

الجيب وجيب التمام هم من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:
 
كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية:
  بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.
بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
 

باستعمال المتسلسلاتعدل

 
دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.
 
الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة متعددة الحدود لتايلور.
 
  إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور  

الدوال المثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلة تايلور كالتالي:[14]

ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

جيب الزاوية:

 

جيب تمام الزاوية:

 

نصف قطر التقارب [الإنجليزية] لتلك السلسلة غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوال كاملة، والتي هي (بالتعريف) دوال ذات قيم عقدية (مركبة) التي تم تعريفها، وتامة الشكل على مجمل المستوي العقدي.

يتم تعريف الدوال المثلثية الأخرى على أنها كسور الدوال بأكملها، ويمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية الشكل، هذه هي الدوال التي تكون كاملة الشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب. هنا، الأقطاب هي أرقام من الشكل   بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو   بالنسة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، حيث k هو عدد صحيح كيفي.

يمكن أيضًا حساب العلاقات الارتدادية لمعاملات متسلسلة تايلور للدوال المثلثية الأخرى. هذه المتسلسلات لها نصف قطر التقارب منتهية. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات بالتناوب للمجموعات المنتهية.[15]

بتعبير أدق، نعرف:

Un، هو عدد أعلى/أسفل [الإنجليزية] (Up/down number) من الرتبة n.

Bn، هو عدد بيرنولي من الرتبة n.

و En، هو عدد أويلر من الرتبة n.

نعرف الدوال الأخرى بواسطة هذه المتسلسلة:[16]

ظل الزاوية:

 

قاطع التمام:

 

قاطع الزاوية:

 

ظل التمام:

 
هناك تمثيل متسلسلات كتحليل كسري جزئي، حيث يتم تجميع دوال المقلوب المزاحة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:[17]
 
يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة خدعة Herglotz [الإنجليزية].[18]

التقريب بالجذورعدل

مثال :

 

متسلسلة الجداء اللانهائيعدل

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:

 

العلاقة بدالة الأس وبالأعداد العقديةعدل

 
تمثيل عدد مركب في الإحداثيات القطبية

يمكن أن يُبين من خلال التعريفات باستعمال المتسلسلات بأن دالتي الجيب والجيب التمام هما الجزء العقدي والجزء الحقيقي على التوالي، لدالة الأس المطبقة على الأعداد العقدية، حين يكون مدخلها عددا تخيليا صرفا:

 

تسمى هاته المتطابقة بصيغة أويلر. هكذا، تصير الدوال المثلثية مركزية وأساسية في الفهم الهندسي للتحليل العقدي.

إثبات: لتكن  ، و . لدينا   من أجل j = 1, 2. تستلزم قاعدة ناتج القسمة بأن  . إذن،  هي عبارة عن دالة ثابتة، التي تساوي 1، و .

لدينا:

 

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

 
 

يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية العقدية. رياضيا:

 
 

يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر بصيغة دي موافر:[19]

 

باستخدام المعادلات الداليةعدل

يمكننا أيضا تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.

مثلا،[20] يمثل جيب التمام وجيب التمام دالتان من الدوال المستمرة الوحيدة التي تحقق صيغة الفرق:

 

بشرط أن تكون   من أجل  .

في المستوي المركبعدل

  يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب بدالتي الجيب وجيب التمام الحقيقيان والدوال الزائدية كما يلي:

 

بأخذ ميزة تلوين المجال [الإنجليزية]، من الممكن أن نمثل بيانيا الدوال المثلثية كدوال ذات قيم عقدية (مركبة). يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنها غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. توضح مقارنة هذه الرسومات البيانية مع تلك الدوال الزائدية المقابلة العلاقات بين الاثنين.

تمثيل الدوال على المستوى العقدي:

           

متطابقاتعدل

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض.

متطابقة فيثاغورسعدل

تعتبر متطابقة فيتاغورس واحدة من أكثر المتطابقات انتشارا واستعمالا. تنص هاته المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، ومربع الجيب التمام لهاته الزاوية يساوي واحدا.

 

حيث يرمز sin2 x + cos2 x إلى sin x)2 + (cos x)2).

زوجيةعدل

جيب التمام و القاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي دوال فردية، بتعبير آخر:

 

دورية:عدل

الدوال المثلثية كلها دوال دورية أصغر دورة لها هي 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دورة لها هي π، بتعبير آخر، من أجل عدد صحيح k، لدينا:

 

صيغ المجموع والفرقعدل

تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق الزاويتين بدلالة الجيب وجيب التمام والظل الزوايا نفسها.

المجموععدل

 

الفرقعدل

 

عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.

 

يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء.

بوضع   و   هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ   ككسر ناطق (Rational) لـ  

 

بالإضافة إلى  

هذا هو تعويض فايرشتراس (Weierstrass)، الذي يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى كسور ناطقة.

الدوال العكسيةعدل

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست تباينية، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. لهذا السبب، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها من أجل تعريف دالة عكسية، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية.

الدالة التعريف مجال التعريف المجال المقابل
       
       
    جميع الاعداد الحقيقية  
      أو    
      أو    
    جميع الاعداد الحقيقية  

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

 

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات العقدية. انظر دوال مثلثية عكسية لمزيد على التفاصيل.

خصائص وتطبيقاتعدل

قانون الجيبعدل

 
رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام مثلث متساوي الأضلاع.

ليكن ABC مثلث، وa و b و c أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:

 
حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:
 
حيث يشير R إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

قانون جيب التمامعدل

قانون جيب التمام هو تمديد لنظرية فيثاغورس

 

وقد تكتب هاته الصيغة كما يلي:

 
في هذه الصيغة، الزاوية عند النقطة C تقابل الضلع c. يمكن إثبات هذه النظرية بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام نظرية فيثاغورس.
يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام زاوية (وبالتالي الزوايا نفسها) إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

قانون الظلعدل

ليكن ABC مثلث، تنص الأشكال الاربعة لقانون الظل على ما يلي:[21]

 
حيث a=BC و b=AC و c=AB.

قانون الظل التمامعدل

ليكن ABC مثلث، ينص قانون ظل التمام على ما يلي:

 

حيث a=BC و b=AC و c=AB، وتشير p إلى نصف محيط المثلث وr نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث.

 
منحنى ليساجو، كُوّن هذا الشكل باستعمال دوال تعتمد على الدوال المثلثية.

حساب المتجهاتعدل

في الرياضيات والفيزياء، تُستخدم المتجهات لتمثيل كمية المتجه (التي لها حجم واتجاه) وبالاخص في الفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الجداء القياسي لمتجهين x و y بواسطة قانون جيب التمام:[22]

 

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:

 

حيث   هو محدد المتجهتين   و .

الاحداثيات القطبية، والأسطوانية والكرويةعدل

 
تمثيل نقطتين في نظام الإحداثيات القطبية

الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من احداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز وزاوية المتجه عبر المركز وتلك النقطة إلى الخط الأفقي (r ، θ) فهي تعتبر إحداثيات نقطة.[23] تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:[23]

 

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.

الدوال الدوريةعدل

 
صورة للتركيب الإضافي (Additive synthesis) لموجة مربعية مع عدد متزايد من التوافقيات
 
يمكن أن تشكل دوال القاعدة الجيبية (أسفل) موجة سن المنشار (أعلى) عند إضافتها. جميع دوال القاعدة لها عقد (Nodes) في عقد من سن المنشار ما عدا الأساسية (ك = 1) لديها عقد إضافية. يسمى التذبذب الذي شوهد حول سن المنشار عندما يكون k كبيرًا بظاهرة Gibbs [الإنجليزية].

الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. على سبيل المثال، يتم استخدام جيب التمام وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، الحركة الرقاصية للكتلة المعلقة بواسطة خيط. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.

تستخدم أيضا لوصف التيارات المتناوبة (التي هي على شكل موجة جيبية)، التي تستخدم علي نطاق واسع في صناعة الطاقة الكهربائية.

تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجة المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو موجات الضوء. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية.[24]

في ظل ظروف عامة إلى حد ما، يمكن التعبير عن دالة دورية f(x) كمجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في متسلسلات فورييه.

نرمز لدوال القاعدة [الإنجليزية] للجيب أو جيب التمام بالرمز φk، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:

 

على سبيل المثال، يمكن كتابة الموجة المربعية كمتسلسلة فورييه:[25]

 

في الرسوم المتحركة لموجة مربعية في أعلى اليمين، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما. يظهر التراكب لعدة حدود في توسيع موجة سن المنشار تحتها.

الفيزياء الميكانيكيةعدل

في الفيزياء الميكانيكية، تُطبق الدوال المثلثية على معادلات الحركة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في حساب شدة قوة. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في الحركيات والديناميكيات الدورانية، ومعادلات الزخم والزخم الزاوي، وظواهر التصادم، تُستخدم فيها دوال مثلثية.[26]

من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي حساب شدة قوة الجاذبية الأرضية المطبقة على جسم موضوع على سطح منحدر و ظاهرة حركة القذيفة.

التاريخعدل

 
تمثيل الدوال هندسيا.
 
صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جداول رياضية.

على الرغم أن الدراسات الأولى لعلم المثلثات تعود إلى العصور القديمة. ولكن الدوال المثلثية، كما تُعرف حاليا، طُورت في العصور الوسطى. على سبيل المثال، تم اكتشاف دالة الوتر من قبل هيبارخوس (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس عالم يوناني مصري عندما كانت مصر مقاطعة رومانية (90-165م). يمكن إسناد دالتا الجيب والسهم (1 - جيب تمامه) إلى الدالتين jyā و koti-jyā [الإنجليزية] المستخدمة في علم الفلك الهندي للحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ومن العربية إلى اللاتينية.[27]

كل الدوال المثلثية الست المستعملة حاليا معروفة في الرياضيات الإسلامية خلال القرن التاسع، كما كان معروفا قانون الجيب، والذي كان يستعمل في معضلة حلحلة المثلثات.[28] باستثناء دالة الجيب التي اعتمدت من الرياضيات الهندية، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الخمس الأخرى من قبل علماء الرياضيات العرب، بما في ذلك جيب التمام، الظل، ظل التمام، القاطع وقاطع التمام.[28] أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول لدوال الجيب والجيب التمام والظل. في حوالي عام 830 ، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام.[29][30] اكتشف محمد بن جابر البتاني (853–929) الدوال المقلوبة: القاطع وقاطع التمام، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من إلى 90°.[30] درست هذه الدوال من طرف علماء من أمثال عمر الخيام في القرنين الحادي عشر والثاني عشر وبهاسكارا الثاني في القرن الثاني عشر ونصير الدين الطوسي في القرن الثالث عشر وغياث الدين الكاشي في القرنين الرابع عشر والخامس عشر وأولوغ بيك في القرن الخامس عشر ويوهانس مولر فون كونيغ بورغ الألماني في القرن الخامس عشر و جورج شواكيم ريتيكوس في القرن السادس عشر وتلميذه فالنتينوس أوتو الألمانيين في القرن السادس عشر.

قام مادهافا السنغماراي (في حوال عام 1400) بتطويرات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية.[31]

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد في القرن السادس عشر لأول مرة الاختصارات sin، و cos، و tan في كتابه "Trigonométrie".[32]

أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و "Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".[33]

في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب sin x ليست بدالة جبرية ل x.[34]

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها كمتسلسلات لانهائية وتقديم صيغة أويلر، وعرفها كذلك كاختصارات شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).[27]

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر (Chord، يشار إليها بـ crd (x)السهم (Versine)، سهم التمام (Coversine)، نصف السهم (Haversine)،[35] القاطع الخارجي (Exsecant) وقاطع التمام خارجي (excosecant).

  • crd(θ) = 2 sin(θ/2)
  • versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin2(θ/2)
  • coversin(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π/2θ)
  • haversin(θ) = 1/2versin(θ) = sin2(θ/2)
  • exsec(θ) = sec(θ) − 1
  • excsc(θ) = exsec(π/2θ) = csc(θ) − 1

أصل تسمية الدوالعدل

استُمِدّت الكلمة الانجليزية "Sine"[36] من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني "إنحناء، خليج"، وبشكل أكثر تحديداً "الطية المعلقة للجزء العلوي لِتُوجة"، "طوق الثوب"، التي تم اختيارها على أنها ترجمة لِمَا تم تفسيره على أنه ترجمة الكلمة العربية الفصيحة "جَيْب" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.[37] كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية "جِيب" والتي نشأت في حد ذاته كنقحرة للكلمة السنسكريتية jīvā - ज्या التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها jyā (المصطلح السنسكريتي لدالة الجيب) إلى "وتر القوس".

أما عن كلمة "Tangent"، فقد أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني "يمُس"، لأن المستقيم يمس دائرة الوحدة، بينما استمدت كلمة secant من اللاتينية "secans" التي تعني "قاطع" لأن المستقيم يقطع الدائرة.

أما عن بادئة "co-" (Cosine ، Cotangent)، فقد عُثر عليها في الكتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi (معناه "جيب الزاوية المتممة").[38][39]

التمثيلات البيانية للدوال الرئيسيةعدل

تمثيل بياني لدالتي الجيب و جيب التمامعدل

 
بيان للعلاقة بين دالتي الجيب (باللون الأحمر) وجيب التمام (باللون الأخضر). منحنى الدالة cos متطابقة مع منحنى الدالة sin، لكنها متأخرة بـ π/2 راديان؛ إذن cos A = sin(A + π/2).

تمثيل بياني لدالة الظلعدل

 

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ د فرانك؛ موير، د روبرت (2004-03-01). سلسلة ملخصات شوم ايزي ; حساب المثلثات. international house for cultural investments. ISBN 978-977-282-145-7. مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020. 
  2. ^ محمد مفيد (2013-01-01). التكامل في الرياضات. مركز الكتاب الأكاديمي. ISBN 978-9957-35-052-9. مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020. 
  3. ^ ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (2007-01-01). Dictionaire des termes scientifiques (Anglais/Français/Arabe): قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. Dar Al Kotob Al Ilmiyah دار الكتب العلمية. ISBN 978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 21 فبراير 2020. 
  4. ^ Katx، Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN 978-0321387004. 
  5. ^ "Clark University". مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2017. 
  6. ^ A Note on the History of the Trigonometric Functionsin Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004
    See Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.
    See Katx، Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN 978-0321387004.  نسخة محفوظة 10 يونيو 2018 على موقع واي باك مشين.
  7. أ ب Protter & Morrey (1970, pp. APP-2,APP-3)
  8. ^ Heng, Cheng and Talbert, "Additional Mathematics" نسخة محفوظة 2015-03-20 على موقع واي باك مشين., page 228
  9. ^ Bityutskov، V.I. (2011-02-07). "Trigonometric Functions". Encyclopedia of Mathematics (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 29 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2017. 
  10. ^ Larson، Ron (2013). Trigonometry (الطبعة 9th). Cengage Learning. صفحة 153. ISBN 978-1-285-60718-4. مؤرشف من الأصل في 15 فبراير 2018.  Extract of page 153 نسخة محفوظة 2018-02-15 على موقع واي باك مشين.
  11. ^ Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p.74
  12. ^ Timothy؛ Barrow-Green، June؛ Leader، Imre (2010-07-18). The Princeton Companion to Mathematics (باللغة الإنجليزية). Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8. مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020. 
  13. ^ Trigonometric functions. V.I. Bityutskov (originator), Encyclopedia of Mathematics. نسخة محفوظة 19 فبراير 2020 على موقع واي باك مشين.
  14. ^ See Ahlfors, pages 43–44.
  15. ^ Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol I., page 149
  16. ^ Abramowitz; Weisstein.
  17. ^ Aigner، Martin؛ Ziegler، Günter M. (2000). Proofs from THE BOOK (الطبعة Second). سبرنجر. صفحة 149. ISBN 978-3-642-00855-9. مؤرشف من الأصل في 08 مارس 2014. 
  18. ^ Remmert، Reinhold (1991). Theory of complex functions. Springer. صفحة 327. ISBN 978-0-387-97195-7. مؤرشف من الأصل في 20 مارس 2015.  Extract of page 327 نسخة محفوظة 2015-03-20 على موقع واي باك مشين.
  19. ^ Milton؛ Stegun، Irene A. (2012-04-30). Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15824-2. مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020. 
  20. ^ Kannappan، Palaniappan (2009). Functional Equations and Inequalities with Applications. Springer. ISBN 978-0387894911. 
  21. ^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
  22. ^ Robert؛ Halliday، David؛ Krane، Kenneth S. (1992-03-16). Physics (باللغة الإنجليزية). Wiley. ISBN 978-0-471-80457-4. مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020. 
  23. أ ب George Brinton؛ Weir، Maurice D.؛ Hass، Joel (2010). Thomas' Calculus (باللغة الإنجليزية). Pearson. ISBN 978-0-321-64363-6. مؤرشف من الأصل في 19 فبراير 2020. 
  24. ^ Farlow، Stanley J. (1993). Partial differential equations for scientists and engineers (الطبعة Reprint of Wiley 1982). Courier Dover Publications. صفحة 82. ISBN 978-0-486-67620-3. مؤرشف من الأصل في 20 مارس 2015. 
  25. ^ See for example, Folland، Gerald B. (2009). "Convergence and completeness". Fourier Analysis and its Applications (الطبعة Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992). American Mathematical Society. صفحات 77ff. ISBN 978-0-8218-4790-9. مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2015. 
  26. ^ Halliday, Resnick and Krane ,Physics
  27. أ ب Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. (ردمك 0-471-54397-7), p. 210.
  28. أ ب Gingerich، Owen (1986). "Islamic Astronomy". ساينتفك أمريكان. المجلد. 254. صفحة 74. مؤرشف من الأصل في 19 أكتوبر 2013. اطلع عليه بتاريخ 13 يوليو 2010. 
  29. ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Selin، Helaine؛ D'Ambrosio، Ubiratan، المحررون (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1. 
  30. أ ب "trigonometry". Encyclopedia Britannica. مؤرشف من الأصل في 12 مايو 2015. 
  31. ^ O'Connor، J. J.؛ Robertson، E. F. "Madhava of Sangamagrama". School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. مؤرشف من الأصل في 14 مايو 2006. اطلع عليه بتاريخ 08 سبتمبر 2007. 
  32. ^ O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، "دوال مثلثية"، MacTutor History of Mathematics archive 
  33. ^ "Fincke biography". مؤرشف من الأصل في 07 يناير 2017. اطلع عليه بتاريخ 15 مارس 2017. 
  34. ^ Bourbaki، Nicolás (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. مؤرشف من الأصل في 16 فبراير 2020. 
  35. ^ Nielsen (1966, pp. xxiii–xxiv)
  36. ^ تم تدوين الشكل الانجليزي لأول مرة عام 1593 في الكتاب Horologiographia الخاص بـ Thomas Fale.
  37. ^ هناك مصادر مختلفة أنسبت الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى: انظر إلى: Merlet, A Note on the History of the Trigonometric Functions in Ceccarelli (ed.), International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Springer, 2004 أو إلى: Maor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard. أو إلى: Katx، Victor (July 2008). A history of mathematics (باللغة الإنجليزية) (الطبعة 3rd). Boston: Pearson. صفحة 210 (sidebar). ISBN 978-0321387004. 
  38. ^ Gunter، Edmund (1620). Canon triangulorum. 
  39. ^ Roegel، Denis، المحرر (2010-12-06). "A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620)" (Research report). HAL. inria-00543938. مؤرشف من الأصل في 28 يوليو 2017. اطلع عليه بتاريخ 28 يوليو 2017.