مثلث متساوي الأضلاع

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle)‏ هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول.[1][2][3] وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.

مثلث متساوي الأضلاع
معلومات عامة
النوع
رمز شليفلي
{3}الاطلاع ومراجعة البيانات على ويكي داتا
مثلث متساوي الأضلاع.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص أساسية عدل

طول الارتفاع عدل

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

 

البرهان:

إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

 

 

 

وهو المطلوب إثباته.

المساحة عدل

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:

 

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½   ×  

  مساحة المثلث المتساوي الأضلاع =  

مبرهنات مهمة عدل

خصائص أخرى عدل

 
مثلث متساوي الأضلاع، أطوال أضلاعه متساوية (a=b=c)، وقياسات زواياه متساوية ( ) وارتفاعاته متساوية (ha=hb=hc).

بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:

  • طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو:  
  • طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو:  
  • حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
  • المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
  • نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي:  ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
  • نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي  ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

الإنشاء الهندسي عدل

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.

 

انظر أيضاً عدل

مراجع عدل

  1. ^ De، Prithwijit (2008). "Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle". Mathematical Spectrum. ج. 41 ع. 1: 32–35.
  2. ^ Community - Art of Problem Solving نسخة محفوظة 13 أكتوبر 2016 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Minda، D.؛ Phelps، S. (2008). "Triangles, ellipses, and cubic polynomials". American Mathematical Monthly. ج. 115 ع. October: 679–689. JSTOR:27642581.

وصلات خارجية عدل

إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).