دوال مثلثية عكسية

في الرياضيات، الدوال المثلثية العكسية أو الدوال القوسية (بالإنجليزية: Inverse trigonometric functions)‏ هن الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة. وبالتحديد، هن الدوال العكسية للدوال الست الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام، وتستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة التطبيقية والملاحة والفيزياء والهندسة الرياضية.

التدوين

أول من استخدم الرموز sin⁻¹(x) و cos⁻¹(x) هو عالم الرياضيات جون هيرشل. كان ذلك في عام 1813.

التدوين الأكثر استخدامًا هو تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام البادئة "arc"، مثل: $\arcsin(x)$ ،$\arccos(x)$ $\arctan(x)$... وهكذا، هذا التدوين يقابله بالعربية: قوس الجيب، قوس جيب التمام... .

غالبًا ما تستخدم تلك التدوينات التي أدخلها جون هيرشل، وهذا الاتفاق يتوافق مع تدوين دالة عكسية. قد يبدو هذا يتعارض منطقياً مع الدلالات الشائعة لعبارات مثل $\sin ^{2}(x)$، والتي تشير إلى الأُس بدلاً من تركيب الدالة، وبالتالي قد تؤدي إلى الخلط بين مقلوب العدد والدالة العكسية.

خصائص أساسية

القيم الرئيسية

بما أن الدوال المثلثية الست غير متباينة، تم اقتصارها حتى تكون لها دوال عكسية. لذلك، تكون مديات الدوال العكسية مجموعات فرعية لمديات الدوال الأصلية. فمثلا، على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي y = √x من y² = x، يتم تعريف الدالة y = arcsin(x) كـ sin(y) = x.

إسم	ترميز	تعريف	مجال الدالة	مدى الدالة (راديان)	مدى الدالة (درجات)
قوس جيب الزاوية	y = arcsin(x)	x = sin(y)	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
قوس جيب تمام الزاوية	y = arccos(x)	x = cos(y)	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0\leq y\leq 180^{\circ }$
قوس ظل الزاوية	y = arctan(x)	x = tan(y)	كل الأعداد الحقيقية ($\mathbb {R}$)	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
قوس ظل تمام الزاوية	y = arccot(x)	x = cot(y)	كل الأعداد الحقيقية ($\mathbb {R}$)	$0<y<\pi$	$0<y<180^{\circ }$
قوس قاطع الزاوية	y = arcsec(x)	x = sec(y)	$x\leq -1$ أو $x\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}$ أو ${\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0\leq y<90^{\circ }$ أو $90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
قوس قاطع تمام الزاوية	y = arccsc(x)	x = csc(y)	$x\leq -1$ أو $x\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0$ أو $0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0$أو $0<y\leq 90^{\circ }$

العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$	رسم توضيحي
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية

زوايا متتامة:

${\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}$

مداخلها عبارة عن مقابل متغيرها:

${\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}$

مداخلها عبارة عن مقلوب متغيرها:

${\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}$

المتطابقات

طالع أيضًا: قائمة المطابقات المثلثية

متطابقات المجموع والفرق

$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})$

$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})$

$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$

متطابقات أخرى

$\arcsin(x)+\arccos(x)={\pi \over 2}\;$

$\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)={\pi \over 2}.\;$

$\arctan(x)+\arctan \left({1 \over x}\right)=\left\{{\begin{matrix}{\pi \over 2},&{\mbox{if }}x>0\\-{\pi \over 2},&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$

$\arccos(x)+\arccos(-x)=\pi .\;$

${\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

اشتقاق وتكامل الدوال المثلثية العكسية

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية

المقالة الرئيسة: تفاضل الدوال المثلثية

تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$

= المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}$

على سبيل المثال، إذا توفر $\theta =\arcsin x\!$، فإنه يُحصل على ما يلي:

${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{\cos \theta d\theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

تكاملات الدوال المثلثية العكسية

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

باستخدام التكامل بالتجزئة، نجد أن:

${\begin{aligned}\int \arcsin(x)\,dx&{}=x\,\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos(x)\,dx&{}=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan(x)\,dx&{}=x\,\arctan(x)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot}(x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

المتسلسلات غير المنتهية

يمكننا تعبير عن بعض د.م.ع. بواسطة متسلسلة ماكلورين:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&=x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\,\end{aligned}}$

$\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}\,$

${\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}-x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}-\cdots \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\,\end{aligned}}$

حيث تشير n!! إلى عاملي ثنائي (ميز عن «عاملي مرتين» (n!)!).

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان تعويضا لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.

$\arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots \,}}}}}}}}}}\,$

الشكل اللوغاريتمي للدوال

قد يتم التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات العقدية. هذا يمَدِّد مجالاتهما إلى المستوي العقدي (المركّب) بطريقة طبيعية. تشبه هذه التعبيرات العبارات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية.

${\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+z}{i-z}}\right)={\frac {i}{2}}\left[\ln(1-iz)-\ln(1+iz)\right]&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z-i}{z+i}}\right)={\frac {i}{2}}\left[\ln \left(1-{\frac {i}{z}}\right)-\ln \left(1+{\frac {i}{z}}\right)\right]&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}+{\frac {1}{z}}\right)=i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}$

التمثيلات البيانية للدوال

التمثيلات البيانية للدوال في المَعْلَم الديكارتي.

• 

  ت.ب لدالتي قوس الجيب (بالأحمر) وقوس جيب التمام (بالأزرق)

• 

  ت.ب لدالتي قوس الظل (بالأحمر) وقوس ظل التمام (بالأزرق)

• 

  ت.ب لدالتي قوس القاطع (بالأحمر) وقوس قاطع التمام (بالأزرق)

انظر أيضًا

• دوال مثلثية
• قائمة المتطابقات المثلثية
• لوغاريتم عقدي
• عمدة عدد مركب
• جذر تربيعي
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
• دالة ابتدائية
• دوال زائدية عكسية