دوال مثلثية عكسية

الدوال العكسية للدوال المثلثية

في الرياضيات، الدوال المثلثية العكسية أو الدوال القوسية (بالإنجليزية: Inverse trigonometric functions)‏ هن الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة.[1] وبالتحديد، هن الدوال العكسية للدوال الست الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام، وتستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة التطبيقية والملاحة والفيزياء والهندسة الرياضية.

الترميزعدل

أول من استخدم الرموز sin−1(x) و cos−1(x) هو عالم الرياضيات جون هيرشل. كان ذلك في عام 1813.[2]

الترميز الأكثر استخدامًا هو تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام البادئة "arc"، مثل:   ،   ، ... وهكذا، هذا الترميز يقابله بالعربية: قوس الجيب، قوس جيب التمام، ... .[3]

غالبًا ما تستخدم تلك الترميزات التي أدخلها جون هيرشل، وهذا الاتفاق يتوافق مع ترميز دالة عكسية. قد يبدو هذا يتعارض منطقياً مع الدلالات الشائعة لعبارات مثل  ، والتي تشير إلى الأُس بدلاً من تركيب الدالة، وبالتالي قد تؤدي إلى الخلط بين مقلوب العدد والدالة العكسية.

خصائص أساسيةعدل

القيم الرئيسيةعدل

بما أن الدوال المثلثية الست غير تباينية، تم اقتصارها حتى تكون لها دوال عكسية. لذلك، تكون أمدية الدوال العكسية مجموعات فرعية لأمدية الدوال الأصلية. فمثلا، على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي y = x من y2 = x، يتم تعريف الدالة y = arcsin(x) كـ sin(y) = x.

إسم ترميز تعريف مجال الدالة مدى الدالة
(راديان)
مدى الدالة
(درجات)
قوس جيب الزاوية y = arcsin(x) x = sin(y)      
قوس جيب تمام الزاوية y = arccos(x) x = cos(y)      
قوس ظل الزاوية y = arctan(x) x = tan(y) كل الأعداد الحقيقية ( )    
قوس ظل تمام الزاوية y = arccot(x) x = cot(y) كل الأعداد الحقيقية ( )    
قوس قاطع الزاوية y = arcsec(x) x = sec(y)   أو     أو     أو  
قوس قاطع تمام الزاوية y = arccsc(x) x = csc(y)   أو     أو    أو  

العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسيةعدل

        رسم توضيحي
         
         
         
         
         
         

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسيةعدل

زوايا متتامة:

 

مداخلها عبارة عن مقابل متغيرها:

 

مداخلها عبارة عن مقلوب متغيرها:

 

المتطابقاتعدل

متطابقات المجموع والفرقعدل

 
 
 

متطابقات أخرىعدل

 
 
 
 
 

اشتقاق وتكامل الدوال المثلثية العكسيةعدل

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسيةعدل

تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:

 

= المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:

 

على سبيل المثال، إذا توفر  ، فإنه يُحصل على ما يلي:

 

تكاملات الدوال المثلثية العكسيةعدل

باستخدام التكامل بالتجزئة، نجد أن:

 

المتسلسلات غير المنتهيةعدل

يمكننا تعبير عن بعض د.م.ع. بواسطة متسلسلة ماكلورين:

 
 
 

حيث تشير n!! إلى عاملي ثنائي (ميز عن "عاملي مرتين" (n!)!).

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسيةعدل

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان تعويضا لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.

 

الشكل اللوغاريتمي للدوالعدل

قد يتم التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات العقدية. هذا يمَدِّد مجالاتهما إلى المستوي العقدي (المركّب) بطريقة طبيعية. تشبه هذه التعبيرات العبارات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية.

 

التمثيلات البيانية للدوالعدل

التمثيلات البيانية للدوال في المَعْلَم الديكارتي.

انظر أيضًاعدل

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن الدوال المثلثية العكسية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 25 مارس 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ Graham Hall et Fred Goodrich Frink, chap. II « The Acute Angle (14) Inverse trigonometric functions », dans Trigonometry, Ann Arbor, Michigan, USA, Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA, janvier 1909 ,I: Plane Trigonometry, p. 15.. نسخة محفوظة 5 يوليو 2019 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (2007-01-01). Dictionaire des termes scientifiques (Anglais/Français/Arabe): قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. Dar Al Kotob Al Ilmiyah دار الكتب العلمية. ISBN 978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

وصلات خارجيةعدل