دالة عكسية

دالة "تعكس" دالة أخرى: إذا كانت الدالة f المطبقة على مدخل x تعطي نتيجة y ، فإن تطبيق الدالة العكسية g على y يعطي النتيجة x والعكس صحيح. أي، تكون f(x) = y إذا وفقط إذا كانت g(y) = x

الدالة العكسية (بالإنجليزية: Inverse function)‏ هي الدالة التي يكون فيها عناصر المجال هي المعكوس لعناصر المجال المقابل، أي بمعنى آخر إذا كان د هو دالة تناظرية من أ إلى ب فإن الدالة ق من ب إلى أ هي الدالة العكسية للأقتران أو الدالة د.[1][2][3]

دالة ƒ ودالتها العكسية ƒ–1. لأن صورة a بالدالة f هي 3, فإن صورة 3 بالدالة العكسية ƒ–1 هي a.

الدالة س ← د (س) دالتها العكسية د(س) ← س.

f:XY و g:YX

عكس الدالة الرياضية هو دالة رياضية تعكس تأثيرات التابع . ويرمز للدالة العكسية ب :

.

التعبيران (y=f(x و (x=f−1(y متكافئان.

أمثلةعدل

الجدول أدناه يمثل مجموعة دوال مع دوالها العكسية:

دالة f(x) عكسها f −1(y) ملاحظات
x + a y a
ax ay
mx y/m m ≠ 0

1/x

1/y x, y ≠ 0

x2

y x, y ≥ 0 فقط
x3 3y لا يوجد اقتصار على x و y

xp

y1/p (أي py) x, y ≥ 0 بشكل عام، p ≠ 0
ex lny y > 0

ax

logay y > 0 و a > 0
دوال مثلثية دوال مثلثية عكسية اقتصارات مختلفة
دوال زائدية دوال زائدية عكسية اقتصارات مختلفة

تعاريفعدل

 
إذا كانت صورة X بالدالة f هي Y, فإن صورة Y بالدالة ƒ–1 هي X.

خصائصعدل

الوحدةعدل

إذا ملكت دالةٌ ما دالة عكسية، فإن هذه الدالة العكسية وحيدة (أو لا يمكن أن يكون لدالة ما دالتان عكسيتان مختلفتان).

التماثلعدل

أمثلة من الطبيعة ومن العالم الحقيقيعدل

تعميماتعدل

الدوال العكسية الجزئيةعدل

 
دالة الجذر المربع هي الدالة العكسية لدالة المربع f(x) = x2 عندما قُصر مجال تعريف هذه الأخيرة إلى مجموعة الأعداد الموجبة.

قد تكون دالة ما غير تقابلية، وبالتالي فهي لا تملك دالة عكسية ؛ ولكن رغم ذلك، تُعتبر وتُدرس الدوال العكسية لهؤلاء الدوال، وذلك بتقصير مجال تعريفهن. على سبيل المثال، الدالة

 

ليست دالة تقابلية لأن   و   لهما نفس الصورة  .

تصير الدالة هذه تقابلا إذا قُصر مجال تعريفها إلى مجموعة الأعداد الموجبة، فتصير الدالة العكسية لها كما يلي:

 

انظر أيضا إلى الدوال المثلثية العكسية حيث تستعمل نفس هذه التقنية.

انظر أيضاعدل

مراجععدل


 
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.
  1. ^ "معلومات عن دالة عكسية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 10 أبريل 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "معلومات عن دالة عكسية على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 17 يوليو 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ "معلومات عن دالة عكسية على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 25 مايو 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)