التدوين
عدل
التدوين أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة ar- (من الكلمة الإنجليزية area التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة القطاع الزائدي المحدد بنصفي مستقيم ، مثال: ar sinh ،ar cosh.
يفضل مؤلفون آخرون استخدام التدوين (arg sinh، وarg cosh، وarg tanh)، حيث البادئة arg- هي اختصار للكلمة اللاتينية argumentum [10] التي تعني "عُمْدة"، هذا التدوين اللاتيني يقابله باللغة العربية عمدة الجيب الزائدي ، عمدة جيب تمام الزائدي ، ... وهكذا.
في علوم الحاسوب ، تُختصَر الدوال غالبًا باستخدام البادئة a- ، مثل a sinh.
العبارات اللوغاريتمية للدوال
عدل
دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بـ:
arsinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
دالة معرفة على المجال :[ 1 , + ∞ [ {\displaystyle [1,+\infty [} بـ:
arcosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
دالة معرفة على المجال ] − 1 , 1 [ {\displaystyle ]-1,1[} بـ:
artanh x = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) {\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)} د.ع لظل التمام الزائدي
عدل
دالة معرفة على المجال ] − ∞ , − 1 [ ∪ ] 1 , + ∞ [ {\displaystyle ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [} بـ:
arcoth x = 1 2 ln ( x + 1 x − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)} د.ع للقاطع الزائدي
عدل
دالة معرفة على المجال ] 0 , 1 ] {\displaystyle ]0,1]} بـ:
arsech x = ln ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) = ln ( 1 + 1 − x 2 x ) {\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)} د.ع لقاطع التمام الزائدي
عدل
دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ:
arcsch x = ln ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) = ln ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
الطريقة 1
عدل
∀ x ∈ [ 1 , + ∞ [ : arcosh ( x ) = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\;:\;\operatorname {arcosh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
نضع:
y = arcosh ( x ) ; x ≥ 1 x = cosh ( y ) ; y ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}y&=\operatorname {arcosh} (x);\quad x\geq 1\\x&=\operatorname {cosh} (y);\quad \ \ \ \ y\geq 0\end{aligned}}}
لدينا:
cosh ( y ) + sinh ( y ) = e y . . . . ( ∗ ) {\displaystyle \cosh(y)+\sinh(y)=e^{y}....(*)}
و
cosh 2 ( y ) − sinh 2 ( y ) = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}(y)-\sinh ^{2}(y)=1}
إذن :
sinh 2 ( y ) = cosh 2 ( y ) − 1 {\displaystyle \sinh ^{2}(y)=\cosh ^{2}(y)-1}
ومنه:
| sinh ( y ) | = cosh 2 ( y ) − 1 ; y ≥ 0 ⇒ sinh ( y ) ≥ 0 sinh ( y ) = cosh 2 ( y ) − 1 ( ∗ ) : cosh ( y ) + cosh 2 ( y ) − 1 = e y ⇒ y = ln ( cosh ( y ) + cosh 2 ( y ) − 1 ) arcosh ( x ) = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}|\sinh(y)|&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;;\;y\geq 0\Rightarrow \sinh(y)\geq 0\\\sinh(y)&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\\(*)&:\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}=e^{y}\\\Rightarrow y&=\ln \left(\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}
الطريقة 2
عدل
نعتبر دالة جيب التمام العكسية التالية : y = arcosh x {\displaystyle y=\operatorname {arcosh} x}
بالتعريف:
x = cosh y = e y + e − y 2 {\displaystyle x=\cosh y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}}
2 x = e y + e − y {\displaystyle 2x={e^{y}+e^{-y}}}
e y − 2 x + e − y = 0 {\displaystyle e^{y}-2x+e^{-y}=0}
e y − 2 x + 1 e y = 0 {\displaystyle e^{y}-2x+{\frac {1}{e^{y}}}=0}
e 2 y − 2 x e y + 1 = 0 {\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}+1=0}
نضع u = e y {\displaystyle u=e^{y}} :
u 2 − 2 x u + 1 = 0 {\displaystyle u^{2}-2xu+1=0}
نحل المعادلة من الدرجة الثانية:
u = 2 x ± 4 x 2 − 4 2 {\displaystyle u={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}}
e y = 2 x ± 4 x 2 − 4 2 {\displaystyle e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}}
e y = 2 x ± 4 ( x 2 − 1 ) 2 {\displaystyle e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4(x^{2}-1)}}}{2}}}
2 e y = 2 x ± 2 x 2 − 1 {\displaystyle 2e^{y}={2x\pm 2{\sqrt {x^{2}-1}}}}
e y = x ± x 2 − 1 {\displaystyle e^{y}={x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}}
ندخل اللوغاريتم الطبيعي الطرفين:
ln e y = ln ( x ± x 2 − 1 ) {\displaystyle \ln e^{y}=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
y = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
ومنه نستنتج أن:
arcosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
صيغ الإضافة
عدل
arsinh u ± arsinh v = arsinh ( u 1 + v 2 ± v 1 + u 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)} arcosh u ± arcosh v = arcosh ( u v ± ( u 2 − 1 ) ( v 2 − 1 ) ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)} artanh u ± artanh v = artanh ( u ± v 1 ± u v ) {\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)} arsinh u + arcosh v = arsinh ( u v + ( 1 + u 2 ) ( v 2 − 1 ) ) = arcosh ( v 1 + u 2 + u v 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}
تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية
عدل
sinh ( arcosh x ) = x 2 − 1 for | x | > 1 sinh ( artanh x ) = x 1 − x 2 for − 1 < x < 1 cosh ( arsinh x ) = 1 + x 2 cosh ( artanh x ) = 1 1 − x 2 for − 1 < x < 1 tanh ( arsinh x ) = x 1 + x 2 tanh ( arcosh x ) = x 2 − 1 x for | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}
المشتقات
عدل
d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 , for all real x d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 , for all real x > 1 d d x artanh x = 1 1 − x 2 , for all real | x | < 1 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 , for all real | x | > 1 d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 , for all real x ∈ ( 0 , 1 ) d d x arcsch x = − 1 | x | 1 + x 2 , for all real x , except 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}
إثبات:
نضع على سبيل المثال θ = arsinh x (حيث sinh 2 θ = (sinh θ) 2 ):
d arsinh x d x = d θ d sinh θ = 1 cosh θ = 1 1 + sinh 2 θ = 1 1 + x 2 . {\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.} التكاملات
عدل
∫ arsinh ( x ) d x = x arsinh ( x ) − x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x)\,dx=x\operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C} ∫ arcosh ( x ) d x = x arcosh ( x ) − x 2 − 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x)\,dx=x\operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C} ∫ artanh ( x ) d x = x artanh ( x ) + 1 2 ln ( 1 − x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {artanh} (x)\,dx=x\operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C} ∫ arcoth ( x ) d x = x arcoth ( x ) + 1 2 ln ( x 2 − 1 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (x)\,dx=x\operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C} ∫ arsech ( x ) d x = x arsech ( x ) − 2 arctan 1 − x 1 + x + C {\displaystyle \int \operatorname {arsech} (x)\,dx=x\operatorname {arsech} (x)-{2}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C} ∫ arcsch ( x ) d x = x arcsch ( x ) + arcoth 1 x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C}
متسلسلات
عدل
يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة المتسلسلات التالية:
arsinh x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 ± ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} arcosh x = ln ( 2 x ) − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + ⋯ ) = ln ( 2 x ) − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n 2 n , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} artanh x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} arcsch x = arsinh 1 x = x − 1 − ( 1 2 ) x − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 7 7 ± ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} arsech x = arcosh 1 x = ln 2 x − ( ( 1 2 ) x 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 6 6 + ⋯ ) = ln 2 x − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n 2 n , 0 < x ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}} arcoth x = artanh 1 x = x − 1 + x − 3 3 + x − 5 5 + x − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
انظر أيضًا
عدل
^ ترجمة افتراضية من الإنجليزية Area functions .
^ Bronshtein, Ilja N.; Semendyayev, Konstantin A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007). "Chapter 2.10: Area Functions". Handbook of Mathematics (5 ed.). سبرنجر . p. 91. doi :10.1007/978-3-540-72122-2 . ISBN 3-540-72121-5 .
^ Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 ed.). Department of Physics, جامعة كونستانز . Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26 . نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين .
^ Mejlbro, Leif (2006). Real Functions in One Variable – Calculus (PDF) . 1a (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon . ISBN 87-7681-117-4 . Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26 . نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين .
^ Mejlbro, Leif (2008). The Argument Principle and Many-valued Functions - Complex Functions Examples (PDF) . c-9 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon . ISBN 978-87-7681-395-6 . Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26 . نسخة محفوظة 10 نوفمبر 2019 على موقع واي باك مشين .
^ Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF) . a-3 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon . ISBN 978-87-7681-702-2 . ISBN 87-7681-702-4 . Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26 . نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين .
^ Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering . 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p. 89. ISBN 978-956141314-6 . ISBN 956141314-0 . "نسخة مؤرشفة" . مؤرشف من الأصل في 2020-05-08. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-06 .{{استشهاد ويب }}
: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link )
^ Weltner, Klaus; John, Sebastian; Weber, Wolfgang J.; Schuster, Peter; Grosjean, Jean (2014-06-27) [2009]. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide (2 ed.). سبرنجر . ISBN 978-364254124-7 . ISBN 3642541240 . "نسخة مؤرشفة" . مؤرشف من الأصل في 2020-05-08. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-06 .{{استشهاد ويب }}
: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link )
^ Detlef Reimers http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf نسخة محفوظة 2019-11-10 على موقع واي باك مشين .
^ Bacon، Harold Maile (1942). Differential and Integral Calculus . McGraw-Hill. ص. 203. مؤرشف من الأصل في 2014-07-26.