قوس جيب التمام

دالة عكسية لدالة جيب التمام

في الرياضيات، دالة قوس جيب التمام[1][2] (بالإنجليزية: Arccosine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1

دالة قوس جيب التمام
التمثيل البياني للدالة
التمثيل البياني للدالة
ترميز
دالة عكسية على المجال
مشتق الدالة
مشتق عكسي
(تكامل)
الميزات الأساسية
مجال الدالة
المجال المقابل
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر
الحدود الأعلى -1
الحدود الأدنى 1
القيمة/النهاية عند 1 0
القيمة/النهاية عند -1 π
جذور الدالة 1
نقاط ثابتة 0.7390851332152...
و 1
هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو ، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1

و 1
قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ arccos أو cos -1

. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x .

مشتقعدل

دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[

ودالتها المشتقة هي:

 

إثباتعدل

يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة: 

نضع  :

 


إثبات آخر

يمكن إيجاد مشتقة دالة arccos(x) عن طريق تفاضل مركب دالتين (دالة ومعكوسها):

- إذا كانت cos(arccos(x)) = x بتفاضل الطرفين معاً ينتج:

 

أي أن:

 

يُستنتج من ذلك:

 

بترتيبها تنتج المشتقة:

 

الشكل التكامليعدل

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:

  

المشتق العكسيعدل

يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:

 

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمامعدل

 
arccos x (بالأزرق) و arcsin x (بالأحمر)

لكل عدد حقيقي x

محصور بين –1
و 1
:

 

إثباتعدل

يمكن أن نستنتج العلاقة بين arccos(x) و arcsin(x) كالتالي:

نأخذ:

 

 

يعني:

 

ومنه:

 

أي:

 

و بترتيبها نحصل على:

 

إثبات آخر

نشتق الدالة  :

  وهي مساوية للصفر ، إذن arccos(x) + arcsin(x) هي عبارة عن دالة ثابتة.

نستنتج من ذلك أن:

مجموع arccos(x) و arcsin(x) عدد حقيقي ثابت (لأن مشتقة الثابت هي الصفر) يتم تعيينه أي أن:

 

نأخذ arcsin(x) إلى الطرف الآخر:

 

ندخل دالة الجيب تمام على الطرفين:

 

نبسط التعبير باستعمال قاعدة جيب تمام فرق عددين:

 

أي أن:

 

و بتعويض x ب 0 و التبسيط نحصل على:

 

بادخال دالة معكوس جيب التمام على الطرفين نحصل على:

 

أي أن:

 

و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:

 

التمثيل بواسطة متسلسلةعدل

لدينا:

 

و بتعويض arcsin(x) بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة arccos(x) :

 

على المستوي العقديعدل

الشكل اللوغاريتميعدل

يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:

 

تمثيل الدالة العقديةعدل

 
التمثيل البياني اللوني للدالة  

طالع أيضًاعدل

مراجععدل

  1. ^ ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (2007-01-01). قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. دار الكتب العلمية. ISBN 978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957). مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع. مؤرشف من الأصل في 28 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)