قائمة المطابقات المثلثية

قائمة ويكيميديا

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.[1]

ملاحظاتعدل

  • لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة الدالة العكسية المقلوب معكوس المقلوب
جيب الزاوية sin قوس جيب الزاوية arcsin قاطع تمام الزاوية csc قوس قاطع تمام الزاوية arccsc
جيب تمام الزاوية cos قوس جيب تمام الزاوية arccos قاطع الزاوية sec قوس قاطع الزاوية arcsec
ظل الزاوية tan قوس ظل الزاوية arctan ظل تمام الزاوية cot قوس ظل تمام الزاوية arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات 30 45 60 90 120 180 270 360
الراديان                
غراد 33 ⅓ 50 66 ⅔ 100 133 ⅓ 200 300 400

علاقات أساسيةعدل

متطابقة فيثاغورس المثلثية  
متطابقة النسبة  
كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة            
             
             
             
             
   
         
             

التطابق، الإزاحة، والدوريةعدل

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابقعدل

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

انعكاس في   انعكاس في  
(متطابقة مساعدة)
انعكاس في  
     

الإزاحة والدوريةعدل

θ مزاحة بمقدار π/2 θ مزاحة بمقدار π θ مزاحة بمقدار 2π
     

متطابقات مجموع وفرق الزواياعدل

الجيب  
جيب التمام  
الظل  
قوس الجيب  
قوس جيب التمام  
قوس الظل  

شكل المصفوفةعدل

 

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائيةعدل

 
 

ظلال مجاميع حدود محدودةعدل

 

مثال:

 

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودةعدل

 

مثلا,

 

صيغ الزوايا المتعددةعدل

Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n    
صيغة دي موافر،   هي وحدة تخيلية      
 

صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزواياعدل

أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس [الإنجليزية]

صيغ ضعف زاويةعدل

 
 
 
 
 
 

صيغ ثلاثة أضعاف زاويةعدل

 
 
 
 
 
 

صيغ نصف زاويةعدل

 

حيث   و   هي دالة الجزء الصحيح.

 
 
 
 
 

[2][3]

أيضا:  

 
 

جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددةعدل

 
 
 
 

ظل المتوسطعدل

 

جداء Viète اللانهائيعدل

 

حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري وهي تكافئ  

صيغ اختصار الأسعدل

جيب جيب التمام أخرى
     
     
     
     
جيب التمام جيب
إذا كان n فردي    
إذا كان n زوجي    

متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكسعدل

من الجداء إلى المجموع
 
 
 
 
من المجموع/الفرق إلى الجداء
 
 
 

متطابقات أخرى ذات صلةعدل

إذا كانت   تساوي نصف دائرة، فإن:
 
و  

مبرهنة بطليموسعدل

إذا كانت   تساوي نصف دائرة، فإن:
 

مركبات خطيةعدل

 

حيث: 

أو: 

 

حيث: 

و: 

مجاميع أخرى للدوال المثلثيةعدل

 
 
 
 
 

تحويلات كسرية خطية معينةعدل

 

وبالمثل:  

وعليه:  

 

الدوال المثلثية العكسيةعدل

 
 
 

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتهاعدل

   
   
   
   

علاقة بالأس المركبعدل

  (صيغة أويلر),
 
 
 
 
 

حيث  .

صيغ الجداء اللانهائيعدل

 
 
 

 
 

المتطابقات الخالية من المتغيراتعدل

 
 
 
 
 
 
 

حساب πعدل

 
 

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرةعدل

 

قيم أخرى شيقةعدل

 
 

بـالنسبة الذهبية φ:

 
 

التفاضل والتكاملعدل

في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

 

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

 

محققة باستخدام هذه المتطابقة tan x/2 = 1 − cos x/sin x. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

 

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

 

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

 
 
 

تضميناتعدل

تعاريف أسيةعدل

الدالة الدالة المعكوسة
   
   
   
   
   
   
   

متفرقاتعدل

نواة ديراكعدل

 

تعويض بظل نصف الزاويةعدل

إذا وضعنا   :

 

انظر أيضًاعدل

مراجععدل

  1. ^ ملخصات ايزي شوم
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  3. ^ إيريك ويستاين، Half-Angle Formulas، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).