قائمة المتطابقات المثلثية
في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.[1]
ملاحظات عدل
- لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة | الدالة العكسية | المقلوب | معكوس المقلوب | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
جيب الزاوية | sin | قوس جيب الزاوية | arcsin | قاطع تمام الزاوية | csc | قوس قاطع تمام الزاوية | arccsc |
جيب تمام الزاوية | cos | قوس جيب تمام الزاوية | arccos | قاطع الزاوية | sec | قوس قاطع الزاوية | arcsec |
ظل الزاوية | tan | قوس ظل الزاوية | arctan | ظل تمام الزاوية | cot | قوس ظل تمام الزاوية | arccot |
الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها
الدرجات | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 180 | 270 | 360 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
الراديان | ||||||||
غراد | 33 ⅓ | 50 | 66 ⅔ | 100 | 133 ⅓ | 200 | 300 | 400 |
علاقات أساسية عدل
الدالة | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
|
||||||
التطابق، والإزاحة والدورية عدل
من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..
التطابق عدل
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.
انعكاس في | انعكاس في (متطابقة مساعدة) |
انعكاس في |
---|---|---|
الإزاحة والدورية عدل
θ مزاحة بمقدار π/2 | θ مزاحة بمقدار π | θ مزاحة بمقدار 2π |
---|---|---|
متطابقات مجموع وفرق الزوايا عدل
الجيب | |
---|---|
جيب التمام | |
الظل | |
قوس الجيب | |
قوس جيب التمام | |
قوس الظل |
شكل المصفوفة عدل
جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية عدل
ظلال مجاميع حدود محدودة عدل
مثال:
وهكذا
قواطع مجاميع حدود محدودة عدل
مثلا,
صيغ الزوايا المتعددة عدل
Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n | |
---|---|
صيغة دي موافر، هي وحدة تخيلية |
صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا عدل
أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس [الإنجليزية]
صيغ ضعف زاوية عدل
صيغ ثلاثة أضعاف زاوية عدل
صيغ نصف زاوية عدل
حيث و هي دالة الجزء الصحيح.
أيضا:
جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة عدل
ظل المتوسط عدل
جداء Viète اللانهائي عدل
حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري وهي تكافئ
صيغ اختصار الأس عدل
جيب | جيب التمام | أخرى |
---|---|---|
جيب التمام | جيب | |
---|---|---|
إذا كان n فردي | ||
إذا كان n زوجي |
متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس عدل
|
|
متطابقات أخرى ذات صلة عدل
- إذا كانت تساوي نصف دائرة، فإن:
- و
مبرهنة بطليموس عدل
- إذا كانت تساوي نصف دائرة، فإن:
مركبات خطية عدل
حيث:
أو:
حيث:
و:
مجاميع أخرى للدوال المثلثية عدل
تحويلات كسرية خطية معينة عدل
وبالمثل:
وعليه:
الدوال المثلثية العكسية عدل
مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها عدل
علاقة بالأس المركب عدل
- (صيغة أويلر),
حيث .
صيغ الجداء اللانهائي عدل
|
|
المتطابقات الخالية من المتغيرات عدل
حساب π عدل
بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة عدل
قيم أخرى شيقة عدل
التفاضل والتكامل عدل
في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:
محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:
محققة باستخدام هذه المتطابقة tan x2 = 1 − cos xsin x. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.
يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:
يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:
تعاريف أسية عدل
الدالة | الدالة المعكوسة |
---|---|
متفرقات عدل
نواة ديراك عدل
تعويض ظل نصف الزاوية عدل
إذا وضعنا :
- و و .
انظر أيضًا عدل
في كومنز صور وملفات عن: قائمة المتطابقات المثلثية |
مراجع عدل
- ^ ملخصات ايزي شوم
- ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
- ^ إيريك ويستاين، Half-Angle Formulas، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).