متعددات الحدود لتشيبيشيف

متتالية من متعددات الحدود

في الرياضيات، حدوديات تشيبيشيف (بالإنجليزية: Chebyshev polynomials)‏ هي حدوديات يعود اسمها إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف,[1] هي متتالية من حدوديات متعامدة لها صلة بصيغة دي موافر وتعرف ببساطة بواسطة ذاتية الاستدعاء.

عادة هناك فرق بين حدوديات تشيبيشيف من النوع الأول والتي يرمز لها ب Tn وبين حدوديات تشيبيشيف من النوع الثاني ويرمز لها Un.

حدوديات تشيبيشيف Tn أو Un هي حدوديات من الدرجة n ومتواليات كثيرات حدود شيبيشيف لأي من النوعين تكون متواليات كثيرات حدود.

حدوديات تشيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأن جذور كثيرات حدود شيبيشيف ذات النوع الأول، والتي يطلق عليها أيضاً عقد شيبيشيف، تستخدم عقدا في استيفاء كثيرات الحدود.

في مجال المعادلات التفاضلية، تأتي حدوديات تشيبيشيف حلولاً لمعادلة تشيبيشيف.

و

(الصنف الأول حل للمعادلة الأولى والثاني حل للمعادلة الثانية). هاتان المعادلتان حالتان خاصتان من معادلة ستورم-ليوفيل التفاضلية.

تعريف

عدل

تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول بالعلاقة التكرارية

 

وتكون الدالة المولدة التقليدية لـ Tn

 

ودالة التوليد الأسية هي

 

تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة

 

من أمثلة الدوال المولدة لـ Un

 

تعريف بالنسب المثلثية

عدل

النوع الأول:

 

حيث:

 

لقيم n = 0, 1, 2, 3,..., أما النوع الثاني:

 

لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين:

 

و:

 

يمكن بيان أن:

 
 

وهكذا.

تعريف معادلة بل

عدل

يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل

 

في حلقة R[x].[2] بالتالي، يمكن توليدها بالطريقة القياسية لمعادلات بل بأخذ قوى حل أساسي:

 

العلاقة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني

عدل

العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية

 
 
 
 

العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات

 

تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.

بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل:

 
 
 
 

صيغ صريحة

عدل
 


 
 

حيث   هي دالة مثلثية زائدية.

الخواص

عدل

التحويل

عدل

من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود

 

و

 

الجذور والقيم القصوى

عدل

لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة n يوجد لها n جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن

 

يمن إثبات أن جذور Tn هي

 

بالمثل جذور Un هي

 

التفاضل والتكامل

عدل

باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي:

 
 
 

التعامدية

عدل

إن كلا من Tn وUn تكونان متواليات كثيرات حدود متعامدة. كثيرات الحدود من النوع الأول تكون متعامدة بالنسبة للوزن

 

في الفترة (−1,1), أي أن:

 

بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن

 

على الفترة [−1,1], أي أن:

 

الأصغرية ∞-طبيعي

عدل

لأي قيمة n ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة nمع معامل أسبقية 1,

 

هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1, 1] تكون أصغرية.

هذه القيمة الأعظمية تكون

 

و|ƒ(x)| تصل لهذه القيمة العظمى تماماً n + 1 من المرات: عند

 

صلتها بكثيرات حدود أخرى

عدل
  •  
  •  

أمثلة

عدل
 
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول في المجال −1 < x < 1: الأسطح T0, T1, T2, T3, T4 وT5.

بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي

 
 
 
 
 
 
 
 
 
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle T_9(x) = 256x^9 – 576x^7 + 432x^5 – 120x^3 + 9x. \,}
 
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني في المجال −1 < x < 1: الأسطح U0, U1, U2, U3, U4 وU5.

بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني هي

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

كمجموعة أساسات

عدل

في فضاء سوبوليف, تؤلف مجموعة كثيرات حدود شيبيشف مجموعة أساس مكتملة بحيث أن دالة في نفس الفضاء يمكن التعبير عنها على −1 ≤ x ≤ 1 بالنشر:[3]

 

مثال 1

عدل

ليكن لدينا منشور شيبيشيف  . يمكن التعبير عنه

 

كما يمكن إيجاد المعاملات   إما بتطبيق الضرب الداخلي أو من شرط التعامدية المتقطعة. بطريقة الضرب الداخلي

 

نحصل على

 

بالمثل وعند عدم جدوى طريقة الضرب الداخلي نلجأ لطريقة شرط التعامدية المتقطعة فنحصل على

 

حيث   هي دالة دلتا كرونكر و  هي N أصفار   من غاوس–لوباتو

 

وبحساب المعاملات   بواسطة تحويل جيب التمام المتقطع

 

مثال 2

عدل
 

انظر أيضا

عدل

مراجع

عدل
  1. ^ Chebyshev polynomials were first presented in: P. L. Chebyshev (1854) "Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes," Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg, vol. 7, pages 539-586.
  2. ^ Jeroen Demeyer Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert's Tenth Problem for Function Fields, Ph.D. theses (2007), p.70. نسخة محفوظة 02 يوليو 2007 على موقع واي باك مشين. [وصلة مكسورة]
  3. ^ Boyd، John P. (2001). Chebyshev and Fourier Spectral Methods (PDF) (ط. second). Dover. مؤرشف من الأصل (PDF) في 25 مايو 2013. اطلع عليه بتاريخ أغسطس 2020. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)