في الرياضيات ، صيغة دي موافر (بالإنجليزية : De Moivre's formula )، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:
منح أبراهام دي موافر اسمه للصيغة.
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}
الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر
e
x
p
(
i
x
)
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
{\displaystyle exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)\,}
البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي
عدل
يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.
من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي . عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر . يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k . أي:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
k
=
cos
(
k
x
)
+
i
sin
(
k
x
)
.
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}
وبدراسة الحالة n = k + 1:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
k
+
1
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
k
(
cos
x
+
i
sin
x
)
=
[
cos
(
k
x
)
+
i
sin
(
k
x
)
]
(
cos
x
+
i
sin
x
)
(1)
=
cos
(
k
x
)
cos
x
−
sin
(
k
x
)
sin
x
+
i
[
cos
(
k
x
)
sin
x
+
sin
(
k
x
)
cos
x
]
=
cos
[
(
k
+
1
)
x
]
+
i
sin
[
(
k
+
1
)
x
]
(2)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{(1)}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{(2)}}\end{alignedat}}}
العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية.
وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n ≥1.
إذا كانت n = 0 تظل الصيغة
cos
(
0
x
)
+
i
sin
(
0
x
)
=
1
+
i
0
=
1
{\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}
z
0
=
1
{\displaystyle z^{0}=1}
إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m . وبالتالي:
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
−
m
=
1
(
cos
x
+
i
sin
x
)
m
=
1
(
cos
m
x
+
i
sin
m
x
)
=
cos
(
m
x
)
−
i
sin
(
m
x
)
=
cos
(
−
m
x
)
+
i
sin
(
−
m
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}}
أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.
استخدامات صيغة دي موافر
عدل
تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:
z
n
=
r
n
(
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
)
{\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)\,)}
و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x .
على سبيل المثال، للحصول على (cos(2x و (sin(2x ، ساوي:
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
2
=
cos
(
2
x
)
+
i
sin
(
2
x
)
{\displaystyle (\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x))^{2}=\cos(2x)+\mathrm {i} \sin(2x)\ }
لدينا:
cos
2
(
x
)
+
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
i
−
sin
2
(
x
)
=
cos
(
2
x
)
+
i
sin
(
2
x
)
{\displaystyle \cos ^{2}(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm {i} -\sin ^{2}(x)=\cos(2x)+\mathrm {i} \sin(2x)\,}
ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:
cos
(
2
x
)
=
cos
2
(
x
)
−
sin
2
(
x
)
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\,}
sin
(
2
x
)
=
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,}
حدوديات تشيبيشيف
عدل
بافنوتي تشيبيشيف صيغة دي موافر تعطي:
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
∑
p
=
0
n
(
n
p
)
cos
n
−
p
(
x
)
i
p
sin
p
(
x
)
{\displaystyle \cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)}^{n}=\sum _{p=0}^{n}{n \choose p}\cos ^{n-p}(x)\mathrm {i} ^{p}\sin ^{p}(x)}
بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:
cos
(
n
x
)
=
T
n
(
cos
x
)
{\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos x)}
حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.
T
n
(
X
)
=
∑
0
≤
2
k
≤
n
(
n
2
k
)
(
−
1
)
k
X
n
−
2
k
(
1
−
X
2
)
k
{\displaystyle T_{n}(X)=\sum _{0\leq 2k\leq n}{n \choose 2k}(-1)^{k}X^{n-2k}(1-X^{2})^{k}}
المراجع
عدل
قاموس رياضيات عربي-انجليزي-فرنسي-الجزء الثاني- إهداء الأستاذ إبراهيم الاحمدي (بتصرف). 
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{(1)}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{(2)}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e94830c4d18fe35dd28702e3a858ee5fb65b6ee)
