صيغة دي موافر

Question book-new.svg
تعرَّف على طريقة التعامل مع هذه المسألة من أجل إزالة هذا القالب.يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يونيو 2019)

في الرياضيات، صيغة دي موافر (بالإنجليزية: De Moivre's formula)‏، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:

منح أبراهام دي موافر اسمه للصيغة.

الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر

البرهان باستخدام الاستقراء الرياضيعدل

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي: 

وبدراسة الحالة n = k + 1:

 

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية. وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n≥1.

إذا كانت n = 0 تظل الصيغة   صحيحة، ومن المعروف أن  .

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي: 

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.

استخدامات صيغة دي موافرعدل

تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:

 

و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x.

على سبيل المثال، للحصول على (cos(2x و (sin(2x، ساوي:

 .

لدينا:

 .

ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:

 

 .

حدوديات تشيبيشيفعدل

صيغة دي موافر تعطي:

 .

بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:

 

حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.

 .

مراجععدل

قاموس رياضيات عربى -انجليزى-فرنسى-الجزء الثانى- اهداء الاستاذ إبراهيم الاحمدى (بتصرف)

وصلات خارجيةعدل