افتح القائمة الرئيسية

تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :

مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
x
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول "نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر." وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

محتويات

التاريخعدل

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفاتعدل

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن  , النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل   يوجد على الأقل نقطة واحدة   حيث.  .

لتكن  , و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد   بحيث إذا كانت   و   إذاً  .

العلاقة بالاتصالعدل

كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة متصلة ،ولكن ليست كل دالة متصلة هي دالة قابلة للاشتقاق ، و هذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة ويرستراس

خصائصعدل

قاعدة التسلسلعدل

 , و 

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد   حيث إذا توفر   فإن  ).

قاعدة لوبيتالعدل

الجمع والتكاملعدل

[1][2]

نظرية

العدد   هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة   في A بحيث   و ,∀n∈N   .

مثال:

الفترة المفتوحة  كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ . النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ   لكنها لا تنتمي إلى

 . كل النقاط في   هي نقاط تراكم ل  
  1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
  2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة :

  إذا أعطي   جوار لـL

  يوجد   جوار لـ c 
   بحيث x≠c هي أي نقطة في   إذاً 

أمثلةعدل

1)  

الحل

أفترض f(x)=b,, لكل , نريد إثبات أن   ،وإذا كان  ,, نفترض  .

(في الحقيقة في أي   موجبة ستكون كافية للغرض" أي اي عدد موجب سيكون مقبول"),,

إذا   , ((الواحد تعويض عن  )) لدينا   وبما أن  أجراء تعسفي (إجباري) , نستنتج من تعريف النهاية أن  

2)  

الحل :

لتكن g(x)=x ,لكل   , إذا كان  نختار   إذاًو إذا كانت

 , يكون لدينا  , بما أن  , نستنتج أن  

مما يعني أن  

معيار المتتابعات للنهاياتعدل

نظرية [معيار المتتابعةعدل

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

 

2/ لكل متتابعة   في A تتقارب إلى c بحيث   لكل   , المتتابعه

  تتقارب إلى L

معيار التباعدعدل

لنفرض أن   ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت   ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة   في A و  لكل   بحيث المتتابعة   تتقارب إلى c لكن المتتابعة

  لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة   في A و

  لكل   بحيث المتتابعة   تتقارب إلى c لكن المتتابعة.

  ليست تقاربية في R

أمثلةعدل

1/   غير موجودة

الحل

نفرض أن   إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ  حيث   ,   هذا سيؤدي إلى أن   لكن   وكما نعلم أن المتتابعة   ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن   غير موجودة.

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ "INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS", Robert G. Bartle Donald R. Sherbert, Fourth Edition, John Wiley & Sons,2011
  2. ^ نهايات الدوال