قاطع (حساب المثلثات)

  لمعانٍ أخرى، طالع قاطع (توضيح).

في حساب المثلثات والتحليل الرياضي، دالة قاطع الزاوية (بالإنجليزية: Secant)‏، سميّت سابقًا بقُطْر الظِّل، هي إحدى الدوال المثلثية التي تتبع قيمة زاوية، يرمز لها بـ ${\sec(x)}$، ويمثل القاطع مقلوب قيمة جيب التمام أي $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$. أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

القاطع
تمثيل دالة القاطع في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
تدوين	${\sec(x)}$
تعريف الدالة	$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$
دالة عكسية	${\operatorname {arcsec}(x)}$
مشتق الدالة	$${\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x$$
مشتق عكسي (تكامل)	${\begin{aligned}{\ln |\sec(x)+\tan(x)|}\\=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\end{aligned}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية
مجال الدالة	$\mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}$
المجال المقابل	$]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [$
دورة الدالة	2π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
القيمة/النهاية عند $x={\frac {\pi }{2}}+2k\pi$	على اليمين: -∞ على اليسار: +∞
القيمة/النهاية عند $x=-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi$	على اليمين: +∞ على اليسار: -∞
خطوط مقاربة	$x={\frac {\pi }{2}}+k\pi$
نقاط حرجة	$k\pi$
ملاحظات	$k\in \mathbb {Z}$

إن القاطع هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع زاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

${\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

حيث $E_{n}$ هو عدد أويلر و $U_{n}$ هو عدد Up/down.

اشتقاق

مشتق الدالة هو:

$${\frac {d}{dx}}\sec x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin \,x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin \,x}{\cos x}}=\sec x\cdot \tan x.$$

تكامل

تكامل الدالة لها ثلاثة أشكال متكافئة:

$\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}$

انظر أيضًا

• قاطع التمام
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية