قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

هذه قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية.

الدوال التي تحتوي معكوس الجا

أخذاً بالعلم أن معكوس الجا (جا⁻¹) = $arcsin$

$\int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

$\int x\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

$\int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

$\int x^{n}\arcsin x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\ dx\right)$

$\int \cos ^{n}x\arcsin x\ dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\ dx\right)$

الدوال التي تحتوي معكوس الجتا

أخذاً بالعلم أن معكوس الجتا (جتا⁻¹) = $arccos$

$\int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

$\int \arccos {\frac {x}{a}}\ dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

$\int x\arccos {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

$\int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$

الدوال التي تحتوي معكوس الظا

أخذاً بالعلم أن معكوس الظا (ظا⁻¹) = $arctan$

$\int \arctan x\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

$\int \arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx=x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C$

$\int x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-ax}{2}}+C$

$\int x^{2}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C$

$\int x^{n}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1$

الدوال التي تحتوي معكوس ظتا

أخذاً بالعلم أن معكوس الظتا (ظتا⁻¹) = $arccot$

$\int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

$\int \operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C$

$\int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C$

$\int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1$

الدوال التي تحتوي معكوس قا

أخذاً بالعلم أن معكوس القا (قا⁻¹) = $arcsec$

$\int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C$

$\int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C$

$\int x\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C$

$\int x^{n}\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\ dx\right)\right]\right)$

الدوال التي تحتوي معكوس قتا

أخذاً بالعلم أن معكوس القتا (قتا⁻¹) = $arccsc$

$\int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C$

$\int \operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{a}\ln {({\frac {x}{a}}({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1))}+C$

$\int x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C$