تكامل إهليلجي

دالة خاصة معرفة بواسطة تكامل

في الحساب التكاملي، نشأت التكاملات الإهليلجية أو التكاملات الناقصية[1][2] (بالإنجليزية: Elliptic integral)‏ في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إعطاء طول القوس للقطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل جوليو فاغنانو [الإنجليزية] وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة "التكامل الإهليلجي" على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:

حيث R هي دالة كسرية ذات متغيرين، و P هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و c هو ثابت.

بشكل عام، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.

ترميز العمدةعدل

التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.

التكاملات الإهليلجية غير التامةعدل

التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأولعدل

يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول F بـ:

 

هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:

 

بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:

 

في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي "الوسيط"، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها "الاختلاف المركزي الزاوي". يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.

التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثانيعدل

تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:

 

شكل جاكوبي:

 

وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:

 

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:

 

حيث a هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و e هو إختلافه المركزي.

التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثالثعدل

تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث Π على الشكل المثلثي:

 

أو

 

يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن   لانهائي، مهما كان m.

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض φ أيضا بدلالة Π:

 

التكاملات الإهليلجية التامةعدل

هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي π/2، وبالتالي x=1.

التكامل الإهليلجي التام من النوع الأولعدل

 
منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول K(k)

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول K بـ:

 


يمكن استخدام مفكوكه:

 

يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:

 

التكامل الإهليلجي التام من النوع الثانيعدل

 
منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني  

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني E بـ:

 .

بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي  ، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:

 

يمكن استخدام مفكوكه:

 

حيث   هو عاملي ثنائي.

التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالثعدل

 
منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث   مع عدة قيم ثابتة لـ n  

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث Π بـ:

 

يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة n،

 

انظر أيضًاعدل

مراجععدل

  1. ^ ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (2007-01-01). قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. دار الكتب العلمية. ISBN 978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 04 يونيو 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "LDLP - Librairie Du Liban Publishers". www.ldlp-dictionary.com. مؤرشف من الأصل في 13 يونيو 2020. اطلع عليه بتاريخ 13 يونيو 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)