حافة (هندسة)

قطعة مستقيمة تربط رأسين متجاورتين في مضلع او متعدد الجوانب (Polytope)

في الهندسة الرياضية، تعد الحافة نوعًا خاصًا من القطع المستقيمة التي تربط رأسين في متعدد الجوانب.[1][2] في المضلع، الضلع هو قطعة مستقيمة التي تربط اثنين من رؤوسه المتتالية. في متعدد السطوح أو بشكل عام متعدد الجوانب، الحافة أو الحرف هي قطعة مستقيمة يلتقي فيه اثنان من وجوه متتالية.

مضلع محدود بأضلاع، هذا المربع له 4 أضلاع
كل حافة (أو حرف) تلتقي فيه اثنان من الاوجه المتتاليه لمتعدد الأوجه، مثل هذا المكعب.

عدد الحواف في متعدد السطوحعدل

في أي سطح محدب متعدد السطوح له خاصية أويلر

V – E + F = 2

حيث V هو عدد الرؤوس، و E هو عدد الأضلاع، و F هو عدد الوجوه.

تُعرف هذه المعادلة بصيغة أويلر لمتعدد السطوح. وبالتالي فإن عدد الأضلاع أقل بمقدار 2 من مجموع أعداد الرؤوس والوجوه معًا. على سبيل المثال، يحتوي المكعب على 8 رؤوس، و 6 أوجه، وبالتالي فإن للمكعب 12 حافة.

الالتقاء مع الوجوه الأخرىعدل

في أي مضلع تلتقي حافتان عند كل رأس، وبشكل أكثر شمولًا وفقًا لنظرية بالينسكي، فإن عدد (ن) من الحواف على الأقل تلتقي عند كل رأس من رؤوس متعدد الجوانب المحدب نوني الأبعاد (الذي تقع وجوهه في عدد ن من المستويات). وبالمثل، في متعدد السطوح، يلتقي وجهان يكون كل منهما في مستوى ثنائي الأبعاد بالضبط عند كل حافة.[3] بينما في الأشكال المتعددة الأبعاد الأعلى تلتقي وجوه ثنائية الأبعاد أو أكثر عند كل حافة.

مصطلحات بديلةعدل

في نظرية متعددات السطوح المحدبة عالية الأبعاد، فإن وجه أو جانب متعدد السطوح الذي له عدد (ن) من الأبعاد يكون في مستوى يقع في عدد (ن - 1) من الأبعاد، والأضلاع تكون في مستوى له (ن - 2) من الأبعاد، وتقع القمة أو الرأس «أ» في المستوى الذي له (ن - 3) من الأبعاد الأبعاد. وهكذا، فإن حواف المضلع تكون هي نفسها جوانبه، وحواف متعدد السطوح المحدب ثلاثي الأبعاد هي نفسها أضلاعه، وحواف متعدد السطوح رباعي الأبعاد هي قممه.[4]

الحواف في الرسوم البيانيةعدل

في نظرية الرسم البياني، الحافة هي عبارة عن كائن مجرد يربط بين رأسي الرسم البياني، على عكس حواف المضلع والمتعدد السطوح التي لها تمثيل هندسي ملموس كقطعة مستقيمة. ومع ذلك، يمكن تمثيل أي متعدد سطوح بهيكله أو حافته، وهو رسم بياني تمثل رؤوسه الرؤوس الهندسية لمتعدد السطوح وتتوافق حوافه مع الحواف الهندسية.[4] على العكس من ذلك، يمكن وصف الرسوم البيانية التي تمثل هياكل ثلاثية الأبعاد من خلال نظرية شتاينتس بأنها الرسوم البيانية المستوية ذات الثلاثة رؤوس.[5]

شطب الحوافعدل

 
مكعب غير مشطوب الحواف

شطب أو اقتطاع الحافة هو عامل طوبولوجي يعدل متعدد السطوح إلى آخر، ويكون في عمله مشابها لعملية التمدد، بحيث تتحرك الوجوه بعيدًا عن بعضها البعض وللخارج، إلا أنها تحافظ أيضًا على الرؤوس الأصلية للشكل متعدد السطوح. بالنسبة إلى متعددات الوجوه، تضيف هذه العملية وجهًا سداسيًا جديدًا بدلاً من كل حافة أصلية.

 
مكعب مشطوب الحواف قليلا

يتم تمثيل متعدد السطوح وفقًا لطريقة تدوين كونواي بالحرف ج. ومن ثم سيكون متعدد الوجوه مع الحواف «ح» شكلًا مشطوفًا يحتوي على عدد «2ح» رؤوس جديدة، و «3ح» حواف جديدة، و «ح» وجوه سداسية جديدة.[6]

انظر أيضاًعدل

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن حافة (هندسة) على موقع enciclopedia.cat". enciclopedia.cat. مؤرشف من الأصل في 2020-08-19.
  2. ^ "معلومات عن حافة (هندسة) على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-07-26.
  3. ^ Polyhedron models. Cambridge [England]: University Press. 1971. ISBN 0-521-06917-3. OCLC 189425. مؤرشف من الأصل في 2016-09-28.
  4. ^ Seidel, R (1986). "Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face". Proceedings of the eighteenth annual ACM symposium on Theory of computing - STOC '86 (بالإنجليزية). Berkeley, California, United States: ACM Press: 404–413. doi:10.1145/12130.12172. ISBN 978-0-89791-193-1. Archived from the original on 2020-12-28.
  5. ^ Jürgen؛ Kovič، Jurij؛ Pisanski، Tomaž؛ Žitnik، Arjana (2016). Convexity and Discrete Geometry Including Graph Theory. Cham: Springer International Publishing. ص. 219–229. ISBN 978-3-319-28184-1. مؤرشف من الأصل في 2021-01-08.
  6. ^ "AUTHOR INDEX (Volume 9)". Nano. 09 (08): 1499001. 2014-12. doi:10.1142/s179329201499001x. ISSN 1793-2920. مؤرشف من الأصل في 27 يوليو 2020. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)