افتح القائمة الرئيسية

متتالية

(بالتحويل من تتابع)
متتالية غير منتهية من الأعداد الحقيقية (باللون الأزرق). هذه المتتالية ليست تصاعدية ولا تنازلية, وليست لها نهاية (أي أنها ليست متقاربة، إذن، هي متباعدة)، وليست هي بمتتالية كوشي. ولكنها محدودة.

المتتالية (بالإنجليزية: Sequence) (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية والتناسب[1][2]) هي مجموعة من الأغراض أو الأحداث أو الحروف المرتبة بنمط خطي (وله معنى بحيث ظهور الحرف أو الحدث بعد الآخر له دلالة ولم يأتي عبثاً قد يكون وفق تطبيق محدد) حيث يكون ترتيب أعضاء المتتالية محدداً تماماً ومميزاً. هذه الأعضاء تسمى عناصر المتتالية أو حدودها.

اذا وضعنا مقابل كل عدد طبيعي عددا حقيقيا فنحصل على : وكل هذه الاعداد ندعوها بحدود المتتالية و الحد العام .

و المهم في المتتالية أنها من أجل كل أن الحد يلي الحد و الحد يسبق الحد بغض النظر عن قيمهما .

نبذة تاريخيةعدل

  • تمت دراسة المتتاليات العددية الاولى من طرف اليونان , مثل متتالية الأعداد الأولية و أرخميدس قام بأعمال حول المتتاليات التي نهايتها تساوي p .
  • في القرن الثالث عشر اكتشف الإطالي ليوناردو فيبوناتشي المتتالية التراجعية البسيطة التي تحمل امسه :  مع   و  والتي تترجم نمو تكاثر الحيوانات و تدخل المتتالية في توزيع و ترتيب اوراق يعض النباتات بحيث يضمن هذا التوزيع وصول أكبر قدر من اشعة الشمس , وقد أثبت عام 1975 بأن عناصر هذه المتتالية تمثل جذورا لكثيرات حدود من الدرجة الخامسة. .
  • المتتاليات الحسابية و الهندسية ظهرت في أوروبا و في الصين في القرون الوسطى .
  • في عصر النهضة درست المتتاليات المعروفة لدينا الان[3] .

المتتاليات في الرياضياتعدل

نجد المتتاليات في الرياضيات على سبيل المثال في مايلي :

  • مفهوم الكثافة : كثافة مجموعة جزئية من فضاء طبولوجي في نفس الفضاء أو فضاء آخر. فأنت إذا أردت مثلا إثبات مساواة أو متباينة في مجموعة الأعداد الحقيقية يكفيك في أغلب الأحيان أن تثبتها في مجموعة الأعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه المجموعة الأخيرة في مجموعة العداد الحقيقية.
  • دراسة المعادلات التفاضلية : نحصل على حلول هذه المعادلات في الكثير من الأحيان كنهايات متتاليات تقربنا شيئا فشيئا من الحل الدقيق.
  • الحساب (أو التحليل) العددي : التقريبات وتقديرات الأخطاء تتم عموما عبر المتتاليات.
  • تعريف مفاهيم رياضية أخرى : الانتقال مثلا من تعريف مفهوم المكاملة للدالة معرفة على مجال حقيقي وتأخذ قيمها في فضاء مجرد.
  • فضاء باناخي ( Banach (1945-1892 مثل  - يمر عبر المتتاليات .
  • ومن التطبيقات التي نجدها في المتتاليات أنها تمكن من تعريف العديد من الدوال المألوفة مثل :
    • الدالة الأسية .
    • الدالة المثلثية جب.
    • الدالة المثلثية تجب.
    • الدالة اللوغاريتمية (بوصفها الدالة العكسية للدالة الأسية).
    • الدالة المثلثية ظل (بوصفها نسبة للدالتين المثلثيتين جب وتجب).

تعريف الرياضيعدل

نسمّي متتالية عدديّة كل تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية   و مستقره الحقل   نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز  أو  عوضاََ عن[4] :

 

تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي ( تعريف التدرجي ) :

حيث يكون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله , كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين الذين قبله

مثال :مهما يكن   نعرف المتتالية   كما يلي :  

تعريف متتالية كدالة :

مثال :  

متتالية عددية حقيقية لانهائية محدودةعدل

نقول عن المتتالية  محدودة اذا كانت محدودة في   أي : مهما كان  يكون :  

أو :  من أجل كل  و   عدد حقيقي موجب[5] .

أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية و غير خالية أو غير منتهية و تكون إما محدودة أو غير محدودة .

ونقول انها محدودة من الأعلى اذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى و نقول أنها محدودة من الأدنى اذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى .

و نقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى و الأدنى في اَن واحد [6] .

متتالية عددية حقيقية متقاربةعدل

نقول عن العدد   انه نهاية المتتالية العددية  و نكتب :   عندما و فقط عندما يتحقق ما يلي :

 

حيث العدد الطبيعي  يتغير في الحالة العام بتغير العدد  [5] .

ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية متقاربة . واذا كانت هذه النهاية تساوي   نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من  

ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في  بالشكل التالي :

نقول عن المتتالية  أنها متقاربة من العدد الحقيقي   اذا وفقط اذا كان   [6] .

متتالية متباعدة : نقول عن متتالية عددية  انها متباعدة اذا لم تكن متقاربة .

مبرهنات اساسية حول التقاربعدل

مبرهة 1عدل

إذا كانت المتتالية العددية   متقاربة من العدد   و من العدد   فإن  .

الاثبات : ليكن  عندئذ  ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر  و   بحيث يكون :

 

 

ومنه يوجد عدد الطبيعي   بحيث يكون :

 

 

وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية :

 

ومنه يمكن استنتاج أن  كما يلي :

لو كان   لكان  وبالتالي لكان يوجد عدد   بحيث يكون  عندما   وهذا غير ممكن اذن   وهو المطلوب .

مبرهة 2عدل

كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة .

الاثبات : لتكن المتتالية   متقاربة و لنفرض انها متقاربة نحو   عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر   بحيث يكون :

 

ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب :  بحيث يكون من أجل كل   :

 ومنه :   وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية  محدودة وبالتالي فالمتتالية  محدودة .

ملاحظة : ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة .

مبرهنة 3عدل

لتكن المتتالية العددية   ليكن   و   لنفرض أنه من اجل كل   يكون   و لنأخذ المتتالية العددية   عنذئذ :

  1. المتتالية  متقاربة من    المتتالية  متقاربة من  .
  2. المتتالية  متباعدة   لمتتالية  متباعدة .

الاثبات

1) لتكن  متتالية متقاربة من  وليكن  عندئذ يوجد  بحيث أن :

 

ثم نفرض أن  عندئذ يكون :

 

وحسب تعريف  يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي   بحيث يكون :

 

اذن   وهذا يعني أن  متقاربة من  .

وبالعكس نفرض أن  متتالية متقاربة من   وليكن  عندئذ يوجد  بحيث يكون :

 

وحسب تعريف  يمكن ايجاد عدد طبيعي  بحيث يكون :

 

اذن  وهذا يعني أن  متقاربة من  .

2) لتكن   متباعدة و لنفرض أن   متقاربة و عندئذ و حسب (1) تكون   وهذا مستحيل و منه   متباعدة .

وبالعكس لتكن   متباعدة و لنفرض أن   أنها متقاربة و حسب (1) تكون   وهذا مستحيل اذن   متباعدة .

المتتاليات المطردةعدل

نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو تنازلية تماما .

متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية

يقال عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تصاعدية تماماً إذا كان كل حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. ويقال عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تنازلية تماماً إذا كان كل حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.

بالتعبير الرياضي :

نقول أن المتتالية العددية  أنها :

  • تصاعدية اذا كان   من أجل كل  
  • تنازلية اذا كان   من اجل كل  
  • تصاعدية تماما اذا كان   من اجل كل  
  • تنازلية تماما اذا كان   من اجل كل  [6]

المتتاليات الجزيئةعدل

المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6، ... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8.... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).

لتكن لدينا المتتالية العددية  ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز  ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود  فتبقى لدينا الحدود  , ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ  ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة :  , تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية  و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو  و نلفت النظر ان رقم الحد  يتعين بواسطة  وليس  .

وننوه أن :  من أجل كل  وهذا يعني انه من اجل كل  يكون الحد  إما يساوي الحد  أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد  , ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء :فمن أجل  تكون القضية  صحيحة لان الحد  هو إما   او احد الحدود التي تلي  في المتتالية  و لنفرض أن المتباينة  صحيحة من اجل   عندئذ نجد أن :   وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

مبرهنة 4عدل

تكون المتتالية العددية  متقاربة من   اذا وفقط اذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من  .[6]

الاثبات : اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية  متقاربة من  عندئذ تكون المتتالية  متقاربة من  لانها متتالية جزئية من نفسها .

ثانيا لنفرض أن المتتالية  متقاربة من   ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن  ثم نأخذ  عندئذ يوجد  بحيث يكون :   لما كان   من أجل كل   فإن الحد  إما أن يساوي  أو يكون يكون واقعا على يمين الحد  في المتتالية   و منه يكون :  إذن المتتالية الجزئية  متقاربة من  . وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

أنواع وخصائص المتتالياتعدل

قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة, وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).

تُدعى متتالية ما جدائية إذا كان  حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما.

انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.

المتسلسلاتعدل

مجموع حدود متتالية هو متسلسلة. وبتعبير أدق، إذا كانت (x3, x2, x1, ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية (S3, S2, S1, ...) حيث :

 
 

انظر أيضاعدل

مصادرعدل

  • بابا حامد , بن حبيب ( الطبعة الرابعة 2006) التحليل 1 تذكير بالدروس و تمارين محلولة عدد 300. (ترجمة عبد الحفيظ مقران) الجزائر ديوان المطبوعات الجامعية (ISBN 9961-0-0997-5)
  • عمران , قوبا (2017).التحليل الجزء الأول . الطبعة الثانية .الجمهورية العربية السورية .المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا.
  • مراد , محمد فاتح ; تاوريريت ,جمال; قورين,مجمد ; فلاح ,عبد الحفيظ ; موس ,عبد المؤمن ; بلجيلالي , غريسي (2007) الرياضيات الجزء الثاني لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام . الجزائر . الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية .
  • أبو حمدة, عبد الواحد (1988).التحليل 1.الجمهورية العربية السورية . جامعة دمشق - مديرية الكتب الجامعية .

مراجععدل

  1. ^ محمد كريم خان الكرماني. رسالة كشف المجهول في علم الحساب واستخراج المجهولات العددية. ص. 4 نسخة محفوظة 28 فبراير 2018 على موقع واي باك مشين.
  2. ^ prōportiō باللاتينية (Naming Geometric and Arithmetic Progressions. Math Forum at Drexel - Ask Dr. Math) نسخة محفوظة 25 يوليو 2018 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ مراد، محمد فاتح (2007). الرياضيات لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام و التكنولوجي. الثاني. الجزائر: الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية. ISBN 978-9947-20-534-1. 
  4. ^ قوبا، عمران (2017). [www.hiast.edu.sy التحليل 1] تحقق من قيمة |مسار= (مساعدة). الجمهورية العربية السورية: المعهد العالي للعلوم التطبيقية والتكنولوجيا. صفحة 87. ISBN 978-9933-9228-8-7. 
  5. أ ب عبد الواحد، ابو حمدة (1988). التحليل 1. الجمهورية العربية السورية: مديرية الكتب الجامعة - سورية -. 
  6. أ ب ت ث بابا حامد؛ بن حبيب (2006). التحليل 1 تذكير بالدروس و تمارين محلولة عدد 300. الجزائر: ديوان المطبوعات الجامعية. ISBN 9961-0-0997-5. 

وصلات خارجيةعدل