عدد طبيعي

عدد صحيح موجب مثل 1، و 2، و 3، وهكذا

العدد الطبيعي في الرياضيات، هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563. ويضيف بعض العلماء الصفر[أ] إلى هذه المجموعة من الأعداد. يرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N. و هي مجموعة أعداد غير منتهية. يمثل الواحد 1 أصغر الأعداد الطبيعية التي لا تتضمن الصفر *، بينما يمثل الصفر 0 أصغر الأعداد في مجموعة الأعداد الطبيعية التي تتضمن الصفر 0، ويتم إنشاؤها بواسطة علاقة الترجع: كل عدد طبيعي له موال وهو أيضا عدد صحيح طبيعي، 1 عدد صحيح طبيعي.[1]

يمكن للأعداد الطبيعية أن تستعمل في العد (تفاحة، تفاحتان ثلاث تفاحات، وهكذا) من الأعلى إلى الأسفل.

أي: «1 عدد طبيعي، وإذا كان عدداً طبيعياً، فإن عدد طبيعي أيضاً».

وكل مجموعة مرتبة تخضع لأكسيومات بيانو تسمى مجموعة أعداد طبيعية. ويُرمز إلى هذه المجموعة ب N أو يرمز إليها ب *N إذا حذف منها الصفر. بعض الرياضيين لا يعتبرون الصفر عددا صحيحا طبيعيا.

  • ومن خصائصها الجبرية: الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب
  • التجميعة، الضرب عملية تجميعية: c × (b × a) = (c × b) × a.
  • التبادلية، الجمع عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة:a + b = b + a. الضرب عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة: a × b = b × a.
  • وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
  • توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية:a × (b + c) = a × b + a × c
  • لا وجود لقواسم الصفر، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0..

¤ الأعداد الطبيعية تكتب من دون فاصلة /./ ومن دون كسر 1/3

ملاحظة: لم يعتبر العديد من علماء الرياضيات الإغريق الواحد عددا. فبالنسبة إليهم، اثنان هو أصغر عدد.

تاريخعدل

الجذور القديمةعدل

 
يُعتقد أن عظمة إشانغو (معروضة في المعهد الملكي البلجيكي للعلوم الطبيعية)[2][3] كانت مستخدمة في الحسابات منذ 20000 سنة.

في البدايات مُثِلَت الأرقام الطبيعية عن طريق وضع علامة للشيء المعدود. منها تطور لمقارنة الأشياء المعدودة بأخرى لمعرفة الزيادة والنقصان أو المساواة - عن طريق حذف شيء وشطب علامته أو إضافة آخر مع علامة له وهكذا.[4][5]

شكل نظام العد خطوة هامة في تطور تمثيل الأرقام، لأنه مَكَّنَ الانسان من تسجيل أعداد كبيرة.

فالمصريون القدماء كان لديهم نظام عد استخدم رموزا هيروغليفية مختلفة لتمثيل 1 و10 وجميع القوى من 10 لأكثر من 1مليون. فهناك نقش حجري في الكرنك يعود تاريخه إلى حوالي 1500قبل الميلاد (الآن في متحف اللوفر)، مثل فيه الرقم 276 كـ 2 من فئة المئات، و7 من فئة العشرات و 6 من فئة الآحاد. وبنفس الطريقة للرقم 4622.

والبابليون كان لديهم نظام عد قيمة الموضع اعتمد على الأرقام من 1 إلى 10، مستخدما قاعدة ستينية، وفيه رمز العدد 60 هو نفس رمز العدد 1 ويميز بينهم السياق.[6]

لاحقا تطور نظام العد ليشمل تخصيص رمز للصفر باعتباره رقم. استخدام رقم للصفر في نظام القيمة الموضعية يعود للبابليين حوالي 700 ق. م.، حيث حذفوا هذا الرقم لو كان آخر رقم في العدد.[ب]

استخدمت حضارات الأولمك والمايا الصفر كرقم حوالي بدايات القرن 1 ق م، لكنه لم ينتشر خارج أمريكا الوسطى.[8][9]

في العصر الحديث بدأ استخدام الصفر مع عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا حوالي 628 م. ولكن مع ذلك، استخدم ديونيسيوس الصغير في 525 م الصفر كرقم لحساب عيد الفصح، دون أن يُشار له كرقم (حيث لا تتضمن الأرقام الرومانية القياسية رمز الصفر). واستخدمت مكانه كلمة nulla (أو صيغة المضاف nullae) من nullus ، وتعني باللاتينية «لا شيء»، للإشارة لقيمة الصفر.[10]

أول دراسة منهجية للأرقام كمفهوم مجرد تُنسب عادة للفلاسفة اليونانيين فيثاغورس وأرخميدس. اعتبر بعض علماء الرياضيات اليونانيون أن الرقم 1 يختلف عن الأعداد الأكبر منه، وأحيانًا لا يعتبر كعدد.[ج] ، مثلًا عرّف إقليدس أولًا الوحدة

  الوحدة شيء به يمتنع الموجود عن الانقسام إلى اشيآء تشاركه في تمام ذاتياته[12]  

، وبالتالي وفقًا لتعريفه، فإن الوحدة (الرقم 1) ليست عددًا[د]، ويعرف العدد على أنه الكمية المؤلفة من الوحدات.[13]

كما دُرِسَتْ الأرقام تقريبًا في نفس الوقت في الهند والصين وأمريكا الوسطى.[14]

التعريفات الحديثةعدل

في القرن التاسع عشر في أوروبا، كان هناك نقاش رياضي وفلسفي حول ماهية الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال هنري بوانكاريه ممثلا للفلسفة الطبيعانية نَقَدَ تعريف الرياضيون (كـ فريجه، وديدكايند، وراسل) الأرقام منطقيًا لأنه سيؤدي لتناقضات والوقوع في فخ التعريفات الدائرية، بدلا من ذلك اعتبر أن الأرقام هي نتاج طبيعي للنفس البشرية وطبيعة الأشياء من حولنا[15]، وهي تتوافق مع رؤية كرونيكر، الذي قال «خَلَقَ الله الأعداد الصحيحة، غير ذلك من صنيع البشر».[ه]

بسبب انتقادات الطبيعانيين، رأي البنائيون (constructivists) الحاجة لتطوير أساس الرياضيات المنطقي ليصبح أكثر دقة.[و]

في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح جراسمان لأول مرة وباستخدام الاستقراء الرياضي تعريفًا ذاتيًا للأعداد الطبيعية، بدءًا بالصفر ثم مضيفا له واحد (قيمة سماها e) للحصول على الرقم التالي[18]، هو ما يعني بالتبعية أنها نتاج لاستخدام دالة الاستقراء f(n+1) المعرفة بدورها من الدالة الأولى f(0) وليست نتاج طبيعي بشكل تام.

بدأ فريجه تعريف الأرقام مستخدما نظرية المجموعات. في البداية عرَّفَ الرقم الطبيعي على أنه فئة جميع المجموعات التي تكون في تقابل واحد لواحد مع مجموعة معينة. ولكن أدى هذا التعريف لمفارقات، كمفارقة راسل. لتجنب ذلك، عُدِّلَ التعريف لينص على أن الرقم الطبيعي هو مجموعة بعينها، وأن أي مجموعة في تقابل واحد لواحد معها تحوي هذا العدد من العناصر.[19]

من بعد فريجه، قدم بيرس تعريفًا، وحَسَّنَهُ ديديكيند، وطوره بيانو بصورة أكبر فيما يعرف الآن بمسلمات بيانو. وهو يعتمد على مسلمات خصائص الأعداد الترتيبية: حيث كل رقم طبيعي له خَلَفْ وكل رقم طبيعي غير صفري له سَلَفْ متفرد. مسلمات بيانو مُكافِئَة للعديد من نظم نظرية المجموعات الضعيفة. أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية (Axiom of infinity) بما ينفيها. نظرية جودشتاين (Goodstein's theorem) من النظريات التي يمكن إثباتها في ZFC ولا اثبات لها بمسلمات بيانو.[20]

في هذه التعريفات، يسهل إدراج 0 (ويقابله المجموعة الخالية) كرقم طبيعي. إدراج 0 هو الآن تقليد متعارف عليه بين علماء نظرية المجموعات[21] والمنطقيين.[22] وكذا يدرج علماء الرياضيات الآخرون الصفر[أ] ولغات الحاسوب أيضًا تستخدم نظم عد تبدأ بالصفر عند تعداد العناصر كـ عدادات الحلقات وعناصر السلسلة أو المصفوفات.[23][24] لكن على الجانب المقابل، تمسك كثيرون من علماء الرياضيات بالتقاليد القديمة معتبرين 1 أول رقم طبيعي.[25]

الترميزعدل

يستخدم علماء الرياضيات الرمز N أو   للإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.[26][27] التي أسستها نظرية المجموعات. أحيانا استخدم الرمز J في الكتابات القديمة للإشارة لهذه المجموعة.[28]

ونظرًا لأن العنصرين 0 و 1 لهما خصائص مميزة (كعناصر محايدة للجمع والضرب، على التوالي)، فمن المهم معرفة نوع الأرقام الطبيعية المستخدم. يمكن ذلك عن طريق الشرح داخل النص (بكتابة عناصر المجموعة)، أو بوضع علامة علوية أو منخفضة،[29][30] كالمثال التالي:

  • الأعداد الطبيعية بدون الصفر:  
  • الأعداد الطبيعية مع الصفر:  

بشكل آخر ونظرًا لأن الأعداد الطبيعية تشكل طبيعيًا مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة (غالبًا ما يرمز لها بـ  ), لذا يمكن الإشارة إليها على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة.[31] لتوضيح إذا كان الرقم 0 مدرجًا أم لا، يتم أحيانًا إضافة حرف سفلي (أو علوي) "0" في الحالة الأولى (الأعداد الموجبة)، ويتم إضافة حرف علوي "*" في الحالة الأخيرة (غير السالبة):[29]

 
 

الأعداد الزوجية والأعداد الفرديةعدل

العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة. نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.

  • ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
    • عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال:  .
    • عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال:  .
  • ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
    • عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال:  .
  • ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال:  .
  • ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال:  .
  • ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال:  .

عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:

  • إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو عدد كسري.
    • أمثلة:  .
  • إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
    • أمثلة:  .
  • إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
    • أمثلة:  .
  • إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
    • أمثلة:  .

اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعيةعدل

هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.

عن طريق القسمة المتكررةعدل

الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.

الغرابيلعدل

 
خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).

كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.

اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلكعدل

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن: 

عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا  

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن   متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان:  ، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.

عن طريق القسمة المتكررةعدل

الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.

الرموز المستعملةعدل

 
 

خصائص جبريةعدل

لعملتي الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية مجموعة من الخصائص الجبرية:

  • الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب: مهما كان a و b عددين طبيعيين، فإن كلا من a + b و a × b هما عددان طبيعيان.
  • التجميعة، الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان: مها كانت a و b و c أعدادا طبيعية، فإن a + (b + c) = (a + b) + c وa × (b × c) = (a × b) × c.
  • التبادلية، الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة:a + b = b + a وa × b = b × a.
  • وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
  • توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية:a × (b + c) = a × b + a × c
  • لا وجود لقواسم الصفر، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0.

خصائص الأعداد الأوليةعدل

  • أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
  • كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.
  • إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
  • إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان.
  • ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم

نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

  • لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
  • للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm

أمثلةعدل

ppcm (4;9) = 36 ppcm (6;10)=30

تعريفعدل

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو اآكبر قاسم مشترك لهما نرمز له بالرمز pgcd مثال:

pgcd(126;90)=18 pgcd(4;9)=1

إضافاتعدل

  • طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b

أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b، فإذا آان الجواب لا، أتابع البحث إن آان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b.

    • طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b

أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أكبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آن الجواب لا، أتابع البحث ان كان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b.

      • طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا

نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p<a -إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي -إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي

تعميماتعدل

تعريفات رسميةعدل

الأعداد الطبيعية: تجريد للأشياء الحقيقيةعدل

تملك الأشياء والحيوانات خاصية مشتركة: في سلة ما، كلّ التفاحات منفصلة وتتشابه بعض الشيء. في قطيع غنم، تتشابه الحيوانات وهي منفصلة.

لذا ظهرت أشياء لا توجد في الحقيقة، يمكن تغيير أمكانها في ما بينها. هي أشياء لا علاقة لها بالحقيقة، لا توجد إلاّ في الخيال. لذا سنكتب «واحد 1» «اثنان 2» «ثلاثة 3»... ثلاثة ماذا؟ ثلاثة من هذه الأشياء التي اخترعناها ولا وجود لها، ثلاثة «وحدات».

و لو افترضنا أنّ أ هو عدد التفاحات وج هو عدد الأغنام، هذان العنصران يمكن التعامل معهما رياضيًّا مهما كانت الأشياء التي تمثلها.

لقد وجدنا إذا خاصية مهمّة وهي خاصية المجموعات العدودة) ولقد اخترعنا عدادا خياليا لا يملك إلا هذه الخاصية. وهذا الشيء هو الوحدة.

يُدعى هذا التمرين الفكري التجريد. نُجرّد الشيء من صفته ليصبح كميّة فقط.

مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجيةعدل

حدسية غولدباخ
حدسية غولدباخ تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. (ملاحظة: هذه الحدسية لم تُثبت بعد).
الأعداد المثالية
العدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه بما فيها 1، اكتشف ما يزيد على 40 عدد زوجي مثالي (أصغر عدد زوجي مثالي هو 6 حيث 6 = 1+2+3)، ولا يعرف أيوجد عدد فردي مثالي أم لا؟ عدد مثل هذا يجب أن يكون أكبر من  .
الأعداد الأولية
العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2 وبقية الأعداد الأولية الأخرى فردية.

تحليل عدد صحيحعدل

تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 32·5.

أمثلة أخرى:

11 = 11
25 = 5 × 5 = 52
125 = 5 × 5 × 5 = 53
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 23 × 32 × 5

انظر أيضًاعدل

ملاحظاتعدل

  1. أ ب Mac Lane & Birkhoff (1999)
  2. ^ عُثِرَ على لوحة في كيش يعتقد أنها تعود لحوالي 700 ق. م. نُقِشَ عليها ثلاثة خططاطيف للدلالة على مكان خالٍ في نظام الموضع. ألواح أخرى تعود لنفس الفترة استخدمت خطاف واحد للدلالة على خلو المكان.[7]
  3. ^ على سبيل المثال نرى هذا التقليد مستخدما في إقليدوس, طالع نسخة D. Joyce's على الويب من الكتاب السابع، التعريف الأول والثاني.[11]
  4. ^ على الرغم من ذلك ففي كتاب تحرير أصول لأوقليدوس، وفي التعريف الثاني يعرف العدد على أنه: "العدد هو الكمية المتالفة من الوحدات ويقال العدد على الواحد من حيث هو واقع في مراتب العدد"، ولكن في نص إقليدس الأصلي لا ينص التعريف الثاني على أن الوحدة عدد
  5. ^ الترجمة الإنجليزية لهذا الاقتباس تعود إلى Gary وهو بدوره يرجع الاقتباس الألماني إلى "Weber 1891–1892, 19, مقتبسًا من محاضرة لكرونيكر في عام 1886.".[16][17]
  6. ^ "معظم الانتاج الرياضي في القرن العشرين توجه صوب فحص الأساس المنطقي للأشياء وبنيتها." (Eves 1990, p. 606)

مراجععدل

  1. ^ "خط الأعداد"، web.archive.org، 09 مارس 2019، مؤرشف من الأصل في 5 أبريل 2020، اطلع عليه بتاريخ 14 مارس 2019.
  2. ^ "Introduction"، عظمة إشانغو، Royal Belgian Institute of Natural Sciences، مؤرشف من الأصل في 04 مارس 2016.
  3. ^ "Flash presentation"، عظمة إشانغو، Brussels, Belgium: Royal Belgian Institute of Natural Sciences، مؤرشف من الأصل في 27 مايو 2016.
  4. ^ Georges Ifrah: From on to zero, A Universal History of numbers, translated by Lowell Bair, Penguin books, 1988 (انظر المقدمة والفصول الأولى المحتوية على تفصيلات كثيرة وأبحاث عن هذا الموضوع)
  5. ^ Karl Menninger: Number words and number symbols, A cultural history of numbers, translated by Paul Broneer, Dover publications 1992 (طالع على سبيل المثال الفصول Finger Counting, و Tally Sticks)
  6. ^ Ifrah, Georges (2000)، The Universal History of Numbers، Wiley، ISBN 0-471-37568-3.
  7. ^ "A history of Zero"، MacTutor History of Mathematics، مؤرشف من الأصل في 19 يناير 2013، اطلع عليه بتاريخ 23 يناير 2013.
  8. ^ Mann, Charles C. (2005)، 1491: New Revelations of the Americas before Columbus، Knopf، ص. 19، ISBN 978-1-4000-4006-3، مؤرشف من الأصل في 14 مايو 2015، اطلع عليه بتاريخ 03 فبراير 2015.
  9. ^ Evans, Brian (2014)، "Chapter 10. Pre-Columbian Mathematics: The Olmec, Maya, and Inca Civilizations"، The Development of Mathematics Throughout the Centuries: A brief history in a cultural context، John Wiley & Sons، ISBN 978-1-118-85397-9.
  10. ^ Deckers, Michael (25 أغسطس 2003)، "Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius"، Hbar.phys.msu.ru، مؤرشف من الأصل في 15 يناير 2019، اطلع عليه بتاريخ 13 فبراير 2012.
  11. ^ Euclid، "Book VII, definitions 1 and 2"، في Joyce, D. (المحرر)، الأصول، Clark University، مؤرشف من الأصل في 05 أغسطس 2011.
  12. ^ نصير الدين الطوسي: كتاب تحرير اصول لاوقليدوس، ص 168 (رابط)
  13. ^ Mueller, Ian (2006)، Philosophy of mathematics and deductive structure in الأصول، Mineola, New York: Dover Publications، ص. 58، ISBN 978-0-486-45300-2، OCLC 69792712.
  14. ^ Kline, Morris (1990) [1972]، Mathematical Thought from Ancient to Modern Times، Oxford University Press، ISBN 0-19-506135-7.
  15. ^ Goldfarb, W. 1979. 1988. ‘‘Poincare´ Against the Logicists,’’ in History and Philosophy of Modern Mathematics, ed. W. Aspray and P. Kitcher, Minnesota Studies in the Philosopy of Science, 11, Minneapolis, University of Minnesota Press, pp. 61–81.
  16. ^ Gray, Jeremy (2008)، Plato's Ghost: The modernist transformation of mathematics، Princeton University Press، ص. 153، ISBN 978-1-4008-2904-0، مؤرشف من الأصل في 29 مارس 2017.
  17. ^ Weber, Heinrich L. (1891–1892)، "Kronecker"، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung [Annual report of the German Mathematicians Association]، ص. 2:5–23. (The quote is on p. 19)، مؤرشف من الأصل في 09 أغسطس 2018; "access to Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung"، مؤرشف من الأصل في 20 أغسطس 2017.
  18. ^ John Stillwell: Roads to Infinity, The Mathematics of Truth and Proof, AKPeters, Ltd. Natick, Massachusetts, 2010, P. 42
  19. ^ Eves 1990
  20. ^ Kirby, Laurie؛ Paris, Jeff (1982)، "Accessible Independence Results for Peano Arithmetic"، Wiley، 14 (4): 285–293، doi:10.1112/blms/14.4.285، ISSN 0024-6093.
  21. ^ Bagaria, Joan (2017)، Set Theory (ط. Winter 2014)، The Stanford Encyclopedia of Philosophy، مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2015، اطلع عليه بتاريخ 13 فبراير 2015.
  22. ^ Goldrei, Derek (1998)، "3"، Classic Set Theory: A guided independent study (ط. 1. ed., 1. print)، Boca Raton, Fla. [u.a.]: Chapman & Hall/CRC، ص. 33، ISBN 978-0-412-60610-6، مؤرشف من الأصل في 17 أغسطس 2021.
  23. ^ Brown, Jim (1978)، "In defense of index origin 0"، ACM SIGAPL APL Quote Quad، 9 (2): 7، doi:10.1145/586050.586053.
  24. ^ Hui, Roger، "Is index origin 0 a hindrance?"، jsoftware.com، مؤرشف من الأصل في 20 أكتوبر 2015، اطلع عليه بتاريخ 19 يناير 2015.
  25. ^ هذا شائع في كتب التحليل الحقيقي. على سبيل المثال، انظر, Carothers (2000) or Thomson, Bruckner & Bruckner (2000).
  26. ^ Weisstein, Eric W.، "Natural Number"، mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية)، مؤرشف من الأصل في 28 يناير 2022، اطلع عليه بتاريخ 11 أغسطس 2020.
  27. ^ "Listing of the Mathematical Notations used in the Mathematical Functions Website: Numbers, variables, and functions"، functions.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 16 أغسطس 2021، اطلع عليه بتاريخ 27 يوليو 2020.
  28. ^ Rudin, W. (1976)، Principles of Mathematical Analysis، New York: McGraw-Hill، ص. 25، ISBN 978-0-07-054235-8.
  29. أ ب "Standard number sets and intervals"، ISO 80000-2:2009، المنظمة الدولية للمعايير، ص. 6.
  30. ^ Grimaldi, Ralph P. (2004)، Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (ط. 5th)، Pearson Addison Wesley، ISBN 978-0-201-72634-3.
  31. ^ Grimaldi, Ralph P. (2003)، A review of discrete and combinatorial mathematics (ط. 5th)، Boston: Addison-Wesley، ص. 133، ISBN 978-0-201-72634-3.