مستخدم:AMMAR-DMOUR/ملعب

الإشتقاق الجزئي

الإشتقاق الجزئي ( بالإنجليزية : Partial derivative ) في علم الرياضيات هو إشتقاق دالة رياضية مكونة من عدة متغيرات بحيث يكون ذلك الإشتقاق بالنسبة لأحد هذه المتغيرات مع معاملة باقي المتغيرات كثوابت ، والاشتقاق الجزئي ذو فائدة كبيرة في التحليل الشعاعي و الهندسة التفاضلية.

والاشتقاق الجزئي يستخدم عندما تكون الدالة ذات عدة متغيرات ، ويستخدم الرمز (∂) بدلا من الرمز (d)؛ لانه اشتقاق لدالة في عدة متغيرات.

وحيث أن المشتقة الجزئية الخاصة للدالة ذات المتغييرين (ƒ (x , y إذا تم إشتقاقها بالنسبة للمتغير ($x$) يمكن التعيبر عنها بالصيغ الرياضية الآتية :-

$f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

وبشكل عام ، تكون الدالة المشتقة جزئياً تملك نفس الشكل العام الخاص بالدالة الأصلية ، ويمكن التعبير عن هذا رياضياً كالتالي. :

$f_{x}(x,y,....)\quad \ ,\ {\partial y \over \partial x\ }=f'_{x}(x,y,.....)$

بالإضافة أنه يمكن استخدام الإشتقاق الجزئي أيضاً للدالات ذات الثلاث متغيرات ${\textstyle f(x,y,z)}$، بحيث يكون للدالة ثلاث مشتقّات ، وكل مشتقّة بدلالة واحدة من الثلاث متغيرات ، ويكون التعويض في أي واحدةً فيهنَّ يعطي ميل خط المماس الذي يقطع الدالة بالإتجاه العمودي أو الأفقي أو بإتجاه الناظر أو عكسه حسب نوع المشتقّة .

ويكننا القول أن ميل المماس اللحظي في نقطة موجودة عند دالة تمتلك الأحداثيات ${\textstyle f(x_{0},y_{0},z_{0})}$ عند استخدام المعنى الفيزيائي للمشتقّة يمكن التعبير عنه كما يلي :

${\textstyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\sqrt {{\partial f \over \partial x}^{2}+{\partial f \over \partial y}^{2}+{\partial f \over \partial z}^{2}}}}$

ولأيجاد ميل المماس عند نقطة لدالة ذات الصيغة $f(x,y)=C$ ، حيث أنَّ ${\textstyle C}$ عبارة عن ثابت ، فإننا نسطيع القول أنًّ :-

${\operatorname {d} \!F}={\partial F \over \partial x}dx+{\partial F \over \partial y}dy$

مقدمة حول الإشتقاق الجزئي

لنفترض أن ƒ عبارة عن إقتران ، أو دالة ذات متغييرين حيث أنَّ :

$z=f(x,y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,$

فإنَّ هذه الدالة تمتلك مشتقَّتان جزئيتان ، بحيث تكون المشتقّة الأولى بدلالة المتغيّر ( $x$ ) ، ويتم الإشتقاق باستخدام قواعد الإشتقاق ، وأفتراض أن المتغيّر الثاني ( $y$ ) مجرد ثابت ، أي أنّ مشتقته تساوي صفراً ، وبناءً عليه ، فإن مشتقّة الدالة " $f$ " بالنسبة إلى المتغيّر ( $x$ ) بناءً على حساب التفاضل والتكامل يمكن حسابها كما يلي :

$\ {\frac {\partial }{\partial x}}(f)=\ {\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+xy+y^{2})=\ {\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2})+\ {\frac {\partial }{\partial x}}(xy)+\ {\frac {\partial }{\partial x}}(y^{2})$

الرسم البياني للدالة : ƒ(x , y ) = x² + xy + y². بالنسبة للمشتقة الجزئية عند النقطة (1, 1) والتي تعجل المتغير y عبارة عن ثابت, ومن الواضح أن خط ميل المماس المقابل موازٍ للمستوى الأحداثي .

مقطع من الرسم البياني يبين منحى الدالة عند النقطة (1, 1)

$$\ {\frac {\partial }{\partial x}}(f)=2x+y$$

وبالطريقة ذاتها ، يمكن حساب المشتقّة الخاصة بالدّآلة ${\textstyle f(x,y)=Z}$ بدلالة المتغيّر الثاني ( $y$ ) ، والتي تعطي ميل خط المماس عند النقاط المحددة إذا كان إتجاهه عامودياً .

وكما هو مبين ، فإن الرسم البياني الخاص بالدالة السابقة هو رسم بياني ثلاثي الأبعاد ، وهو يبيّن الطوبولوجيا الخاصة بالسطح ، والموجودة في الفراغ أو ما يسمى بالفضاء الإقليدي ، حيث أن منحنى قاعدة ميل المماسالخاص بالدالة $f(x,y)=Z$ بالنسبة للمتغيّر الأول ( $x$ ) عند نقطة ما ( ${\textstyle x=x_{0}}$) تقطع المنحى الخاص بالدالة بإتجاه أفقي يوازي المحور الأفقي ، أو المحور السيني كما يطلق عليه في الرياضيات ، حيث تكون النتيجة من التعويض هي ميل المماس المار أفقياً من الرسم الثلاثي الأبعاد عند تلك النقطة .

وفي الغالب ، يتم الأهتمام عند رسم الدالة فقط بالخطوط التي تظهر موازيةً للمستوى الأحداثي .

تعريف المشتقّة الجزيئة

التعريف العام باستخدام النهايات

يمكن وضع تعريف عام للمشتقّة الجزئية ، باستخدام النهايات ، ويعتمد شكل التعريف العام بناءً على عدد المتغيّرات التي تتكون منها الدالة ، وعلى نوع المشتقّة إذا كانت بدلالة المتغيّر ( $x$ ) ، أو ( $y$ ) ، أو ( ${\textstyle Z}$ ) ، أو غيرها من المتغيّرات التي قد تحل مكانها . فيمكنننا التعبير عن المشتقة الجزئية الخاصة بالدالة (ƒ (x , y بدلالة المتغير ( x ) بالنهاية التالية :-

$${\partial f \over \partial x}=\lim _{h\to 0}f(x,y+\Delta y)-f(x,y)/h$$

ولكن بشكلٍ عام ، فإنَّ إيجاد المشتقّات باستخدام النهايات هي وسيلة تقليدية ، وغير ضرورية دائماً إلا أن صيغها قد تستعمل في إشتقاق القوانين ، وفي إشتقاق دالات لا يمكن إشتقاقها عن طريق قواعد الإشتقاق ، وفي تطبيقات أُخرى .

التعريف الأساسي

الدالة الرياضية ${\textstyle f(x,y,....)=Z}$ يمكن إعادة تفسيرها ، أو وضعها كعائلة من الدالات تحمل متغيّر واحد بإستخدام المتغيرات الأُخرى ، فمثلاً الدالة  :-

$f(x,y)=f_{y}(x)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,$

يمكننا إعادة كتابتها كدالة بدلالة المتغيّر ( ${\textstyle x}$ ) فقط ، عن طريق أفتراض أنَّ كل متغيّر ( ${\textstyle y}$ ) هو عبارة عن دالة متسقلّة بدلالة ( ${\textstyle x}$ ) وذلك عن طريق اعتبار المتغيّر الآخر ( ${\textstyle y}$ ) عبارة عن ثابت رقمي ، فإنْ أفترضنا أنَّ المتغيّر الآخر ( ${\textstyle y}$ ) عبارة عن ثابت ( ${\textstyle y=a}$ ) ؛ فأنَّ الدالة الرياضية تصبح كالتالي :

$f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.\,$

حيث أن $a$ في هذا التعبير عبارة عن ثابت ، وليس متغير ، وعليه فإن مشتقّة هذه الدالة الناتجة سوف تكون كاتالي :-

$f_{a}'(x)=2x+a.\,$

وهذه النتيجة ، يمكن أن نقول عنها أنّها المشتقّة الجزئية للدالة بدلالة المتغيّر ( ${\textstyle x}$ ) بعد إعادة الثوابت ( ${\textstyle y=a}$ ) فتصبح النتيجة كما يلي : -

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.\,$

وهنا استخدمنا الرمز ${\textstyle \partial }$ بدلاً من الرمز ${\textstyle d}$ للتوضيح أن هذه المشتقّة هي عبارة عن مشتقّة جزئية .

وبشكلٍ عام ، يمكن تعريف المشتقّة الجزئية الخاصة للدالات التي تسمى ( n-ary function ) $f(x_{1},x_{2},.........,x_{n})$ في الاتجاه الأفقي عند النقطة ${\textstyle (a_{1},a_{2},....,a_{n})}$ على النحو التالي:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.$

وفي الكسر الموجود في النهاية الرياضية أعلاه ، جميع المتغيّرات تبقى ثابتة إلا المتغيّر ${\textstyle x_{i}}$ .

وهذا الأختيار للقيم الثابتة يمكننا من جعل الدالة ، أو الإقتران ذو متغيّرٍ واحد :

$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

وباستخدام التعريف نجد أنَّ :-

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

In other words, the different choices of a index a family of one-variable functions just as in the example above. This expression also shows that the computation of partial derivatives reduces to the computation of one-variable derivatives.

An important example of a function of several variables is the case of a scalar-valued function f(x₁,...x_n) on a domain in Euclidean space $\mathbb {R} ^{n}$ (e.g., on $\mathbb {R} ^{2}$ or $\mathbb {R} ^{3}$). In this case f has a partial derivative ∂f/∂x_j with respect to each variable x_j. At the point a, these partial derivatives define the vector

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

This vector is called the gradient of f at a. If f is differentiable at every point in some domain, then the gradient is a vector-valued function ∇f which takes the point a to the vector ∇f(a). Consequently, the gradient produces a vector field.

A common abuse of notation is to define the del operator (∇) as follows in three-dimensional Euclidean space $\mathbb {R} ^{3}$ with unit vectors $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}}$:

$\nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}}$

Or, more generally, for n-dimensional Euclidean space $\mathbb {R} ^{n}$ with coordinates (x₁, x₂, x₃,...,x_n) and unit vectors ($\mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$):

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$

Formal definition

Like ordinary derivatives, the partial derivative is defined as a limit. Let U be an open subset of Rⁿ and f : U → R a function. The partial derivative of f at the point a = (a₁, ..., a_n) ∈ U with respect to the i-th variable a_i is defined as

${\frac {\partial }{\partial a_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n}) \over h}$

Even if all partial derivatives ∂f/∂a_i(a) exist at a given point a, the function need not be continuous there. However, if all partial derivatives exist in a neighborhood of a and are continuous there, then f is totally differentiable in that neighborhood and the total derivative is continuous. In this case, it is said that f is a C¹ function. This can be used to generalize for vector valued functions (f : U → R'^m) by carefully using a componentwise argument.

The partial derivative ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ can be seen as another function defined on U and can again be partially differentiated. If all mixed second order partial derivatives are continuous at a point (or on a set), f is termed a C² function at that point (or on that set); in this case, the partial derivatives can be exchanged by Clairaut's theorem

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.$

____________________________________________________________________________________________________

حنظلة بن صفوان
اسم نبي الله خنظلة بالخط العربي
الولادة	غير معروف
المقام الرئيسي	حضرموت
النسب	هو حنظلة بن صفوان بن الرس من الأقيون من بني فَهْم بن الحارث بن قحطان

حنظلة بن صفوان هو النبي الذي بعثه الله إلى اصحاب الرس ، حسب ما ذكره ابن كثير - رحمه الله - في كتابه قصص الأنبياء ، ولم يتم ذكره صراحةً في القرآن الكريم ، أو في السنة النبوية ، و أنما تم ذكره نقلاً عن الحافظ الكبير أبو القاسم بن عساكر في أول تاريخه عند ذكر بناء دمشق عن تاريخ أبي القاسم عبد الله بن عبد الله بن جرداد ، وغيره حيث ذكر أن أصحاب الرس كانوا بحضور، فبعث الله إليهم حنظلة بن صفوان، فكذبوه ، وقتلوه ، فسار عاد بن عوص بن ارم بن سام بن نوح بولده من الرس، فنزل الأحقاف، وأهلك الله تعالى أصحاب الرس، وانتشروا في اليمن كلها، وفشوا مع ذلك في الأرض كلها، حتى نزل جيرون بن سعد بن عاد بن عوص بن إرم بن سام بن نوح إلى دمشق، وبنى مدينتها، وسماها جيرون، وهي إرم ذات العماد، وليس أعمدة الحجارة في موضع أكثر منها بدمشق، فبعث الله نبيه هود بن عبد الله بن رباح بن خالد بن الحلود بن عاد إلى عاد، يعني أولاد عاد بالأحقاف، فكذبوه فأهلكم الله عز وجل .

قصته مع قومه

ذكر الله قومه في سورة ق فقال الله تعالى عنها :  كَذَّبَتْ قَبْلَهُمْ قَوْمُ نُوحٍ وَأَصْحَابُ الرَّسِّ وَثَمُودُ   ، وقصتهم أنهم كانوا يعبدون شجرة صنوبر كان يافث بن نوح غرسها على شفير عين كان يطلق عليها " روشنا آب " ، وكان يطلق على الشجرة اسم " شاهدرخت " ، وسميّ أصحاب الرس بهذا الاسم لأنهم رسوا نبيهم في الأرض ، حيث كانت لهم اثنتا عشرة قرية على شاطيء نهر يقال له الرس من بلاد المشرق , وبهم سمي النهر , ولم يكن يومئذ في الأرض نهر أغزر منه ولا أعذب منه ولا قرى أكثر ولا أعمر منها . وذكر عليه السلام أسماءها , وكان أعظم مداينهم اسفندار وهي التي ينزلها ملكهم , وكان يسمى تركوذ بن غابور بن يارش بن ساذن بن نمرود بن كنعان ، وهو نفسه النمرود ملك بابل على زمان النبي إبراهيم .