قواعد التفاضل

قائمة ويكيميديا

فيما يلي سرد بمشتقات بعضٍ من الدوال الرياضية. على اعتبار و دالتين قابلتين للاشتقاق، من أعداد حقيقية، وعدد حقيقي ثابت. وهذه الصيغ تكفي لاشتقاق أي دالة أساسية.[1][2]

قواعد التفاضل العامةعدل

التفاضل خطيعدل

 
 

قاعدتا الضرب والقسمةعدل

 

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

 

قاعدة السلسلة (أو التسلسل)عدل

 
 
 
 
 


اشتقاق الدوال المضروبة والمقسومة لوغاريتميًّاعدل

في حالة الضربعدل

إن كانت  

فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين:

 

من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما  ، إذًا بتطبيق هذه الخاصية تصير الصيغة:

 

باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:

 

بضرب الجانبين في  :

 

ثم يعوض بقيمة   التي هي الدالة الأساسية  :

 

بالضرب واختصار الكسور:

 

في حالة القسمةعدل

ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما  ، ويمكن استخدام الطريقة السابقة لاشتقاق الدوال المكونة من مضروب و/أو مقسوم دالتين فأكثر.

قاعدة المقلوبعدل

 

مشتقة الدالة المعكوسةعدل

إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية، فإن :

 

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها.

قاعدة الأس العامةعدل

 

مشتقات الدوال البسيطةعدل

 
 
 
 
  حيث كلا من   و   هي دوال معرفة
 
 
 

مشتقات الدوال الأسيةعدل

 

المعادلة السابقة صحيحة لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

 
 

المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

 
 
 

مشتقات الدوال المثلثيةعدل

   
   
   
   
   
   

مشتقات الدوال الزائديةعدل

   
   
   

مشتقات الدوال الخاصةعدل

دالة غاما

   

حيث   هي دالة بوليغاما [الإنجليزية].

دالة زيتا لريمان

 

 

انظر أيضًاعدل

المراجععدل

  1. ^ Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, (ردمك 978-0-07-150861-2).
  2. ^ Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, (ردمك 978-0-07-162366-7).