(
c
f
)
′
=
c
f
′
{\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}
اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
,
g
≠
0
{\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}
عدل
(
f
∘
g
)
′
=
(
f
′
∘
g
)
g
′
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
d
d
x
h
(
x
)
=
d
d
z
f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅
d
d
x
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
d
h
(
x
)
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
[
D
(
f
∘
g
)
]
x
=
[
D
f
]
g
(
x
)
⋅
[
D
g
]
x
.
{\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}
عدل
إن كانت
y
=
f
g
{\displaystyle y=fg}
فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين:
ln
(
y
)
=
ln
(
f
g
)
{\displaystyle \ln(y)=\ln(fg)}
من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}
ln
(
y
)
=
ln
(
f
)
+
ln
(
g
)
{\displaystyle \ln(y)=\ln(f)+\ln(g)}
باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:
y
′
y
=
f
′
f
+
g
′
g
{\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}
بضرب الجانبين في
y
{\displaystyle y}
y
′
=
y
(
f
′
f
+
g
′
g
)
{\displaystyle y'=y\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}
ثم يعوض بقيمة
y
{\displaystyle y}
y
=
f
g
{\displaystyle y=fg}
y
′
=
f
g
(
f
′
f
+
g
′
g
)
{\displaystyle y'=fg\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}
بالضرب واختصار الكسور:
y
′
=
f
′
g
+
g
′
f
{\displaystyle y'=f'g+g'f}
ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)}
(
1
f
)
′
=
−
f
′
f
2
,
f
≠
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}
عدل
إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية ، فإن :
(
f
−
1
)
′
=
1
f
′
∘
f
−
1
{\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}
لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.
اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها.
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
f
>
0
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}
عدل
c
′
=
0
{\displaystyle c'=0\,}
x
′
=
1
{\displaystyle x'=1\,}
(
c
x
)
′
=
c
{\displaystyle (cx)'=c\,}
|
x
|
′
=
x
|
x
|
=
|
x
|
x
,
x
≠
0
{\displaystyle |x|'={x \over |x|}={|x| \over x},\qquad x\neq 0}
(
x
c
)
′
=
c
x
c
−
1
{\displaystyle (x^{c})'=cx^{c-1}}
حيث كلا من
x
c
{\displaystyle x^{c}\,}
و
c
x
c
−
1
{\displaystyle cx^{c-1}\,}
هي دوال معرفة
(
1
x
)
′
=
(
x
−
1
)
′
=
−
x
−
2
=
−
1
x
2
{\displaystyle \left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}
(
1
x
c
)
′
=
(
x
−
c
)
′
=
−
c
x
−
(
c
+
1
)
=
−
c
x
c
+
1
{\displaystyle \left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}}
(
x
)
′
=
(
x
1
2
)
′
=
1
2
x
−
1
2
=
1
2
x
,
x
>
0
{\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}
عدل
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}
(
arccsc
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,}
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,}
عدل
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(
arsinh
x
)
′
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(
arcosh
x
)
′
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sech
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x}
(
artanh
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
دالة غاما
(
Γ
(
x
)
)
′
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
ln
t
d
t
{\displaystyle (\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}
(
Γ
(
x
)
)
′
=
Γ
(
x
)
(
∑
n
=
1
∞
(
ln
(
1
+
1
n
)
−
1
x
+
n
)
−
1
x
)
=
Γ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle (\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}
حيث
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
دالة بوليغاما [الإنجليزية]
دالة زيتا لريمان
(
ζ
(
x
)
)
′
=
−
∑
n
=
1
∞
ln
n
n
x
=
−
ln
2
2
x
−
ln
3
3
x
−
ln
4
4
x
−
⋯
{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}
(
ζ
(
x
)
)
′
=
−
∑
p
prime
p
−
x
ln
p
(
1
−
p
−
x
)
2
∏
q
prime
,
q
≠
p
1
1
−
q
−
x
{\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}
^ Calculus (5th edition) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, (ردمك 978-0-07-150861-2 ).^ Advanced Calculus (3rd edition) , R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, (ردمك 978-0-07-162366-7 ).
![{\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624f2d85795ec0b7c5d54e5dd6ed8fddcdcfca36)
