تدرج (رياضيات)

  هذه المقالة عن التدرج في الرياضيات. للطائر، طالع تدرج (طائر).

في حساب المتجهات ، التَدَرُّج (بالإنجليزية: Gradient)‏ ورمزه $\nabla$ مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري الدوران والتباعد. يؤثر التدرج على الحقول القياسية وينتج حقولا متجهية يتركز في اتجاه أعلى معدل تزايد للحقل القياسي.

تدرج

معلومات عامة

صنف فرعي من	مؤثر متجهي مؤثر تفاضلي تدرج متجهي
تعريف الصيغة	$\nabla \varphi =\sum _{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}$
الرموز في الصيغة	$\nabla \varphi$ : تدرج $\varphi$ : دالة سلمية ${\boldsymbol {e}}_{i}$ : Cartesian unit vector $x_{i}$ : إحداثي ديكارتي
التدوين الرياضي	∇

في الصورتين أعلاه، الحقل القياسي باللونين الأسود والأبيض والحقل المتجهي باللون الأزرق. اللون الأسود يعبر عن قيم عالية. والأسهم الزرقاء تمثل التدرج المقابل.

الصيغة الرياضية

يحسب تدرج حقل قياسي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد وفقا لما يلي:

$\nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)$

أما في الإحداثيات القطبية فوفقا للتالي:
$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

وفي الإحداثيات الإسطوانية
$\nabla f={\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$

أما في الإحداثيات الكروية
$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

العمليات على المتجهات

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل نابلا ($\nabla$). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرج Gradient	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسي Laplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	مركب من عمليتي التباعد والتدرج.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.