تدرج (رياضيات)

مؤثر تفاضلي؛ تعميم الاشتقاق إلى دوال متعددة المتغيرات

في حساب المتجهات ، التدرج (بالإنجليزية: Gradient)‏ ورمزه مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتباعد.[1][2][3] يؤثر التدرج على الحقول القياسية وينتج حقولا متجهية يتركز في اتجاه أعلى معدل تزايد للحقل القياسي.

في الصورتين أعلاه، الحقل القياسي باللونين الأسود والأبيض والحقل المتجهي باللون الأزرق. اللون الأسود يعبر عن قيم عالية. والأسهم الزرقاء تمثل التدرج المقابل.

الصيغة الرياضيةعدل

يحسب تدرج حقل قياسي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد وفقا لما يلي:

 



أما في الإحداثيات القطبية فوفقا للتالي:
 

وفي الإحداثيات الإسطوانية
 

أما في الإحداثيات الكروية
 

العمليات على المتجهاتعدل

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل نابلا ( ). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية الترميز الوصف المجال
تدرج Gradient   تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي. تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl   يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence   يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسي Laplacian   مركب من عمليتي التباعد والتدرج. يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن تدرج (رياضيات) على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 12 يوليو 2019.
  2. ^ "معلومات عن تدرج (رياضيات) على موقع britannica.com"، britannica.com، مؤرشف من الأصل في 8 سبتمبر 2015.
  3. ^ "معلومات عن تدرج (رياضيات) على موقع wikiskripta.eu"، wikiskripta.eu، مؤرشف من الأصل في 14 ديسمبر 2019.