عدد بيرنولي

في الرياضيات، أعداد بيرنولي Bn هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي:

B0 = 1, B1 = ±12, B2 = 16, B3 = 0, B4 = −130, B5 = 0, B6 = 142, B7 = 0, B8 = −130.

عندما يستعمل اصطلاح B1=−12، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B1=+12، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن Bn=0 مهما كان n فرديا، وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة Bn بدلا من B2n.

تظهر أعداد بيرنولي في نشر متسلسلة تايلور لدوال ظل الزاوية والظل الزائدي وفي صيغ مجموع القوى المساوية للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى وفي صيغة أويلر-ماكلورين وفي تعابير لبعض قيم دالة زيتا لريمان.

اكتُشفت هذه الأعداد من طرف عالم الرياضيات السويسري جاكوب بيرنولي, الذي سميت نسبة إليه، وفي الوقت نفسه تقريبا، وبصفة مستقلة عنه، من طرف عالم الرياضيات الياباني سيكي كاوا. نشر اكتشاف سيكي عام 1712[1][2] في عمله Katsuyo Sampo; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا.

رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي : فهي قيم دالة زيتا لريمان عند أعداد صحيحة سالبة.

في الملاحظة G لعالمة الرياضيات آدا لوفلايس عن المحرك التحليلي في عام 1842, تصف لوفلايس خوارزمية لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة بابيج.[~ 1] ونتيجة لذلك، تتميز أعداد بيرنولي كونها موضوع أول برنامج حاسوب كتب.

مجموع القوىعدل

تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:

 

هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m + 1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:

 

العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1 = +1/2. (  يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)

لتكن n ≥ 0. بجعل m مساوية ل 0 وB0 = 1 تعطي أعداد طبيعية 0, 1, 2, 3, ….

 

بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0, 1, 3, 6,  وهكذا.

 

بجعل m مساوية ل 2 وB2 = 1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0, 1, 5, 14,  وهكذا.

 

مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:

 

لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1 = −1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.

يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقدير لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.

عممت صيغة فاولابر على يد في. غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).

تعاريفعدل

تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:

  • استدعاء ذاتي،
  • صيغة صريحة،
  • دالة توالدية
  • وصف خوارزمي.

لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل(Ireland & Rosen 1990) أو (Conway & Guy 1996).

لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B1 = 1/2, some يضع المؤلفون B1 = −1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل). لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.

تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتيعدل

تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما

 

تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية Bm(n) لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0, m ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B0(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n = 0 على الترتيب n = 1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير  n.

n = 0 n = 1
   

التعبير هنا [m = 0] يحمل القيمة 1 إذا كان m = 0 و0 عدا ذلك (حاصرة آيفرسون أو { كبيرة). عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة Bm(0) في الحالة الأولى وBm(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.

التعريف الصريحعدل

مرة أخرى، بدءً بصغية أكثر عمومية نوعاً ما

 

هناك معلومات خاطئة منشترة على نحو واسع تفيد بأنه لاتوجد صيغ بسيطة مغلقة لأعداد بيرنولي. المعادلتان الأخيرتان تبينان أن هذا الأمر غير صحيح. وأكثر من ذلك، كانت قد نشرت في 1893 Louis Saalschütz إجمالي 38 صيغة صريحة لأعداد بيرنولي (Saalschütz 1893),

دالة التوليدعدل

تقود الخيارات n = 0 وn = 1 إلى

n = 0 n = 1
   

وصف الخوارزميةعدل

بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.

حساب أعداد برنولي بكفاءةعدل

من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp − 3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p (log p)2) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).

يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n2 log(n) 2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n = 108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب Bn لأعلى دقة لقيم n = 106 في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n = 107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.

الحاسب السنة n المراتب*
ياكوب بيرنولي ~1689 10 1
ليونهارد أويلر 1748 30 8
J.C. Adams 1878 62 36
D.E. Knuth, T.J. Buckholtz 1967 360 478
G. Fee, S. Plouffe 1996 10000 27677
G. Fee, S. Plouffe 1996 100000 376755
B.C. Kellner 2002 1000000 4767529
O. Pavlyk 2008 10000000 57675260
D. Harvey 2008 100000000 676752569
تاريخ حساب أعداد بيرنولي
  • المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.

وجهات نظر واصطلاحات مختلفةعدل

يمكن النظر في أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:

تقودنا كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.

  • أعداد بيرنولي ككائنات قائمة بذاتها.
    تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...
    هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي (انظر مقتطفات من كتابه. (Ars Conjectandi، الطبعة الأولى، 1713). تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، تم ابتكارها لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جين بير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
  • أعداد بيرنولي ككائنات توافقياتية.
    تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
    تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.
     
    وبشكل متعاقب Bn = n! σn(1) for n ≥ 0.
  • أعداد برنولي كقيم لكثيرات حدود متعاقبة.
    المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها. يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
    Bn = Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,....
    Bn = Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
    يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn = Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.
  • أعداد بيرنولي كقيم لدالة زيتا لريمان
    التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
     
    أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.

    يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn = Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.

 

تطبيقات عدد بيرنوليعدل

تحليل المقاربعدل

متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanhعدل

 

الاستخدام في الطوبولوجياعدل

التعريفات التوافقيةعدل

العلاقة بعدد فوربتزكيعدل

العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغعدل

العلاقة بعدد دورة سترلنغعدل

العلاقة بالأعداد الأويلريةعدل

انظر إلى عدد أويلري.

تمثيل الشجرة الثنائيعدل

تقريب المقاربعدل

تمثيل التكامل والاستمراريةعدل

علاقته بأعداد أويلر وπعدل

أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.

 

نظرة خواريزمية: مثلث سيدلعدل

انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل.

 
Seidel's algorithm for Tn

الخصائص الحسابية لأعداد برنوليعدل

مبرهنات كومرعدل

ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:

إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B2B4, ..., Bp−3، إذا، فإن المعادلة xp + yp + zp = 0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.

الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.

لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟عدل

المجموع

 

يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.

إعادة لصياغة نص فرضية ريمانعدل

الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:

التاريخعدل

تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.

 
أحد صفحات Katsuyo Sampo (1712)لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي

عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك "صيغا" حقيقية وكانت تعطى أوصاف فقط في كلمات.

من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرشيمدس (287–212 ق.م, إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م, البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039,م في القاهرة).

لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، وجوهان فاولابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.

بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة. كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B0, B1, B2, ... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى بواسطة سيكي كاوا في اليابان.[1] بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته كصيغة عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.

المتعة التي صادفها حينما دق على النموذج الذي أراده لحساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها من تعليقه حيث كتب :

“بفضل هذا الجدول، استغرق الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن القوى العاشرة للـ1000 عدد الأولى مضافة مع بعضها سوف تنتج المجموع:

91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.”

تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة مفيدة يمكن تعميمها حتى اليوم. يطلق على معاملات بيرنولي اليوم بأعداد بيرنولي، بناء على اقتراح. أبراهام دي موافر.

ملحقعدل

قيم أعداد بيرنولي الأولىعدل

n البسط المقام التقدير العشري
0 1 1 +1.00000000000
1 −1 2 −0.50000000000
2 1 6 +0.16666666667
4 −1 30 −0.03333333333
6 1 42 +0.02380952381
8 −1 30 −0.03333333333
10 5 66 +0.07575757576
12 −691 2730 −0.25311355311
14 7 6 +1.16666666667
16 −3617 510 −7.09215686275
18 43867 798 +54.9711779448
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت قالب:OEIS link قالب:OEIS link

إنظر أيضاعدل

الملاحظاتعدل

  1. أ ب Selin, H. (1997), p. 891
  2. ^ Smith, D. E. (1914), p. 108
  1. ^ Note G in the Menabrea reference

مراجععدل

  • Abramowitz, M.; Stegun, C. A. (1972), "§23.1: Bernoulli and أويلر Polynomials and the أويلر-Maclaurin Formula", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (الطبعة 9th printing), New York: Dover, صفحات 804–806 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • André, D. (1879), "Développements de sec x et tan x.", Comptes Rendus Acad. Sci., 88: 965–967 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • André, D. (1881), "Mémoire sur les permutations alternées", J. Math., 7: 167–184 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Arlettaz, D. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Semesterber, 45: 61–75, doi:10.1007/s005910050037 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Arnold, V. I. (1991), "Bernoulli-أويلر updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics", Duke Math. J., 63: 537–555 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Ayoub, A. (1981), "أويلر and the Zeta Function", Amer. Math. Monthly, 74: 1067–1086 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsankyla, T.; Shokrollahi, M. (2001), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million", Journal of Symbolic Computation, 31 (1–2): 89–96, doi:10.1006/jsco.1999.1011 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة); غير مسموح بالترميز المائل أو الغامق في: |journal= (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Carlitz, L. (1968), "Bernoulli Numbers.", Fib. Quart., 6: 71–85 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Clausen, Thomas (1840), "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen", Astr. Nachr., 17: 351–352 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Conway, John; Guy (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Dilcher, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991), "Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990)", Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, Kingston, Ontario (87), مؤرشف من الأصل في 07 فبراير 2020 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Dumont, D.; Viennot, G. (1980), "A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers", Ann. Discrete Math., 6: 77–87, doi:10.1016/S0167-5060(08)70696-4 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Dumont, D. (1981), "Matrices d'أويلر-Seidel", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, مؤرشف من الأصل في 04 مارس 2016 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Elkies, N. D. (2003), "On the sums Sum_(k=-infinity...infinity) (4k+1) (-n)", Amer. Math. Monthly, 110 (No. 7): 561–573, مؤرشف من الأصل في 22 أبريل 2019 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Entringer, R. C. (1966), "A combinatorial interpretation of the أويلر and Bernoulli numbers", Nieuw. Arch. V. Wiskunde, 14: 241–6 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • von Ettingshausen, A. (1827), Vorlesungen über die höhere Mathematik, Bd. 1, Vienna: Carl Gerold الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • أويلر, ليونهارد (1735), "De summis serierum reciprocarum", Opera Omnia, I.14, E 41,: 73–86 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: ref=harv (link); On the sums of series of reciprocals, arXiv:math/0506415v2 (math.HO).
  • Fee, G.; Plouffe, S. (2007), An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) arXiv:math/0702300v2 (math.NT)
  • Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics, Addison-Wesley الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Guo, Victor J. W.; Zeng, Jiang (2005), "A q-Analogue of Faulhaber's Formula for Sums of Powers", The Electronic Journal of Combinatorics, 11(2), مؤرشف من الأصل في 24 فبراير 2012 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Harvey, David (2008), A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) arXiv:0807.1347v2 math.NT
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Jacobi, C. G. J. (1834), "De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 12: 263–272 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Jordan, Charles (1950), Calculus of Finite Differences, New York: Chelsea Publ. Co. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Kaneko, M. (2000), "The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers", Journal of Integer Sequences, 12, مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2019 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Kellner, Bernd (2002), Program Calcbn – A program for calculating Bernoulli numbers, مؤرشف من الأصل في 04 فبراير 2020 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Knuth, D. E.; Buckholtz, T. J. (1967), "Computation of Tangent, أويلر, and Bernoulli Numbers", Mathematics of Computation, 21: 663–688, doi:10.2307/2005010 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Knuth, D. E. (1993), "Johann Faulhaber and the Sums of Powers", Mathematics of Computation, 61: 277–294 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) arXiv:math/9207222 (math.CA).
  • Kummer, E. E. (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen", J. Reine Angew. Math., 40: 131–138 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) DIGIZ.
  • Kummer, E. E. (1851), "Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen", J. Reine Angew. Math., 41: 368–372 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link) DIGIZ.
  • Luschny, Peter (2007), An inclusion of the Bernoulli numbers, مؤرشف من الأصل في 22 نوفمبر 2017 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Menabrea, L. F., "Sketch of the Analytic Engine invented by Charles Babbage, with notes upon the Memoir by the Translator Ada Augusta, Countess of Lovelace." Bibliothèque Universelle de Genève, October 1842, No. 82. http://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html
  • Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974), "Appendix B: Bernoulli Numbers", Characteristic Classes, 76, Princeton University Press and University of Tokyo Press, صفحات 281–287 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • قالب:Neukirch ANT
  • Pavlyk, Oleksandr (2008), Today We Broke the Bernoulli Record: From the Analytical Engine to Mathematica, Wolfram Blog, مؤرشف من الأصل في 14 أكتوبر 2019 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica, 40: 185–90, doi:10.1007/BF02418544 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Saalschütz, Louis (1893), Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen, Berlin, مؤرشف من الأصل في 28 مارس 2020 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Seidel, L. (1877), "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen", Sitzungsber. Münch. Akad., 4: 157–187 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Selin, Helaine (1997), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, صفحة 819, ISBN 0792340663 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Slavutskii, Ilya Sh. (1995), "Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers", Historia Scientiarum, 2: 69–74 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914), A history of Japanese mathematics, Open Court publishing company, مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • فون شتاوت, كارل جورج كريستيان (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 21: 372–374 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • فون شتاوت, كارل جورج كريستيان (1845), "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram", Erlangen الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Sun, Zhi-Wei (2005/2006), Some curious results on Bernoulli and أويلر polynomials, مؤرشف من الأصل في 08 يوليو 2015 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة); تحقق من التاريخ في: |year= (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Woon, S. C. (1997), "A tree for generating Bernoulli numbers", Math. Mag., 70: 51–56 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).
  • Woon, S. C. (1998), Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers, مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Worpitzky, J. (1883), "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 94: 203–232}, مؤرشف من الأصل في 10 فبراير 2016 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).