افتح القائمة الرئيسية

صيغة فاولهابر

Question book-new.svg
تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية لتحسين وثوقيتها. الرجاء المساعدة في تطوير هذه المقالة بإضافة استشهادات من مصادر موثوقة. المعلومات غير المنسوبة إلى مصدر يمكن التشكيك فيها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

في الرياضيات, صيغة فاولابر, المسماة على اسم جوهان فاولابر, تعبر عن المجموع:

بأنه دالة كثيرة الحدود في  n, ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي.

ملاحظة: تكون أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هي:

حيث بدلا من

ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا, بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع).

تنص الصيغة أن

(المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1).

لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس فردي, فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة.[1] إن اشتقاق صيغة فاولابر متوفر في كتاب الأرقام (The Book of Numbers) لـجون هورتون كونوي ورتشارد غاي.[2]

أمثلةعدل

 
 
 
 
 
 

علاقتها بكثيرة حدود بيرنوليعدل

يمكن أيضا كتابة

 

حيثφj هي متعدد حدود بيرنولي حتى الحد j.

الشكل الظلاليعدل

في التفاضل الظلالي التقليدي يتم معاملة 'j العوامل في تعاقب أو سلسلة Bj على أنها قوى, حتى نستطيع في هذه الحال تطبيق نظرية ذات الحدين ونقول:

 
 

في الشكل الحديث للتفاضل الظلالي, يتم اعتبار الشكل الخطي T على الفضاء الشعاعي لمتعدادت حدود (كثيرات حدود) في متغير b معطى بالعلاقة

 

ويمكن القول حينئذ

 
 

كثيرات حدود فاولابرعدل

يستخدم المصطلح "كثيرات حدود فاولابر" من قبل بعض المؤلفين للإشارة إلى شيء غير متسلسلة كثيرة الحدود المعطاه سابقا. لاحظ فاولابر أنه إذا كانت p فردية, فإن

 

هي دالة متعدد حدود في

 

وبشكل خاص

 
 
 
 
 

أولى هذه المتطابقات, للحالة p = 3, تعرف بنظرية ىيكوماتشو. ويطلق بعض المؤلفين على كثيرات الحدود في الجانب الأيمن من هذه المطابقات اسم "كثيرات حدود فاولابر في a". كثيرات الحدود على الشق الأيمن تقبل القسمة على a 2 لأنه في حالة كانت j > 1 فردية, يكون عدد برنولي,Bj هو 0.

المصادر والوصلات الخارجيةعدل

  1. ^ دونالد كانوث (1993). "Johann Faulhaber and sums of powers". Math. Comp. 61 (203): 277–294. 
  2. ^ جون هورتون كونواي, Richard Guy (1998). The Book of Numbers. Springer. صفحة 107. ISBN 0-387-97993-X. 
  • "Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631.