حساب المتجهات

حساب التفاضل والتكامل لدوال ذات قيم متجهية (شعاعية)
(بالتحويل من تفاضل شعاعي)

حساب المتجهات (بالإنجليزية: Vector calculus)‏، كما يطلق عليه أيضاً الحساب الشعاعي، هو فرع من علم الرياضيات يهتم بعمليات التحليل المختلفة للمتجهات ولفضاء الجداء الداخلي لبعدين أو أكثر (بعض النتائج التي تنتج من الجداء الخارجي من الممكن أن تطبق فقط في الفضاء الثلاثي الأبعاد).[1] يتكون هذا الفرع من عدد من الصيغ الرياضية وطرق لحل المسائل وهو فرع هام جداً في الهندسة والفيزياء، خصوصاً بوصف مجال الجاذبية والمجال الكهرومغناطيسي و جريان الموائع. يعود أصل علم التحليل الاتجاهي إلى تحليل الرموز الرباعية وتمت صياغته من قبل العالم والمهندس الأمريكي ويلارد غيبس والمهندس البريطاني أوليفر هيفيسايد.

يهتم حساب المتجهات بالحقول القياسية والتي تربط الكمية القياسية بكل نقطة في الفضاء، والحقل المتجهي الذي يربط كل متجه إلى كل نقطة في الفضاء. على سبيل المثال، إن حرارة قيمة الضغط الهواء على سطح الأرض يختلف من نقطة لأخرى لذلك يعبر عنها بكمية قياسية، أما تدفق الهواء والتيارات الهوائية هي عبارة عن قيمة متجهه في المجال الاتجاهي، ولذلك نربط متجه السرعة بكل نقطة من الفضاء المدروس.

المؤثرات التفاضليةعدل

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل مؤثر دل ( ). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية الترميز الوصف المجال
تدرج Gradient   تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي. تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl   يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence   يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيان Laplacian   مركب من عمليتي التباعد والتدرج. يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

المصفوفة الجاكوبية مفيدة في دراسة التوابع عندما يكون الحقل ومجال التابع معدد المتحولات، مثل تغير المتحولات أثناء التكامل.

مبرهناتعدل

هناك العديد من المبرهنات الهامة المرتبطة بالعمليات المذكورة آنفاً. والتي تعمم النظرية الأساسية في التفاضل إلى أبعاد أعلى:

النظرية النص الشرح
مبرهنة التدرج Gradient theorem   إن التكامل الخطي خلال الحقل الشعاعي يعادل الفرق في قيمه السلمية عند نقطتي النهاية للمنحني .
مبرهنة غرين Green's theorem   إن تكامل الدوران السلمي للحقل الشعاعي على منطقة معينة في المستوي يعادل التكامل الخطي للحقل الشعاعي على المنحني المحيط بهذه المنطقة.
مبرهنة ستوكس Stokes' theorem   إن تكامل الدوران لحقل شعاعي على سطح يعادل التكامل الخطي للحقل الشعاعي على المنحني المحيط لهذا السطح.
مبرهنة التباعد Divergence theorem   تكامل التشعب لحقل شعاعي على مجسم ما يعادل التكامل للتدفق خلال السطح المحيط بهذا المجسم.

ربما يتطلب التحليل الشعاعي استخدام نظام الإحداثيات في اتجاه معين.

المصادرعدل

  1. ^ Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. صفحة 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. مؤرشف من الأصل في 7 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)صيانة CS1: يستخدم وسيط المؤلفون (link)


 
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.