مبرهنة ستوكس

طالع أيضًا: مبرهنة ستوكس المعممة

مبرهنة ستوكس، معروفة أيضًا باسم مبرهنة كلفن-ستوكس، تيمنًا بعالِمَي الرياضيات لورد كلفن وجورج ستوكس، أو المبرهنة الأساسية للدوران أو ببساطة مبرهنة الدوران، هي مبرهنة في حساب المتجهات على $\mathbb {R} ^{3}$. بالنظر إلى حقل متجهي، تربط المبرهنة تكامل دوران الحقل المتجهي على بعض السطح، بالتكامل الخطي للحقل المتجهي حول حدود السطح.

مبرهنة ستوكس

رسم توضيحي لمبرهنة ستوكس، مع السطح Σ, وحدوده ∂Σ والمتجه الناظمي n.

معلومات عامة

جزء من	قائمة المبرهنات الرياضية
سُمِّي باسم	جورج جابرييل ستوكس
يُصوِّر	شكل تفاضلي
يدرسه	تفاضل وتكامل حساب المتجهات
تعريف الصيغة	$\iint _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {F}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}=\int _{\partial S}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}$
الرموز في الصيغة	القائمة ... ${\boldsymbol {F}}$ : حقل شعاعي $\iint _{S}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}$ : surface integral of a vector field $S$ : parametric surface $\int _{\boldsymbol {c}}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$ : line integral of a vector field $\partial S$ : boundary $\nabla \times {\boldsymbol {F}}$ : دوران
تعميم لـ	مبرهنة غرين مبرهنة التباعد

إذا كان الحقل المتجهي $\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ معرفة في منطقة ذات سطح أملس موجه $\Sigma$ وله مشتقات جزئية مستمرة من المرتبة الأولى، فإن:

${\begin{aligned}\iint \limits _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {a} &=\iint \limits _{\Sigma }{\Bigg (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy{\Bigg )}\\&=\oint \limits _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}=\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ,\end{aligned}}$

حيث $\partial \Sigma$ هي حدود المنطقة ذات سطح أملس $\Sigma$.

يمكن ذكر مبرهنة ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي تدفق دورانه عبر السطح المغلق.

مبرهنة ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على $\mathbb {R} ^{3}$ أحادي الصورة وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.