مصفوفة قابلة للعكس

في الجبر الخطي، يقال عن مصفوفة مربعة A أنها قابلة للعكس (بالإنجليزية: Invertible matrix)‏ إذا وُجدت مصفوفة مربعة B حيث:

حيث In هي مصفوفة الوحدة وحيث الجداء المشار إليه في هذه الصيغة هو جداء المصفوفات الاعتيادي.[1][2][3]

معكوس مصفوفة هو المعكوس الضربى لها حيث يساوي حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها مصفوفة الوحدة.[4][5]

خصائصعدل

مبرهنة المصفوفة القابلة للعكسعدل

لتكن A مصفوفة بُعدها هو n*n عرفت على حقل K (مجموعة الأعداد الحقيقية مثالا). النصوص التالية متكافئة مع بعضها البعض. أي أنهن بالنسبة لمصفوفة ما، جميعهن خاطئات أو جميعهن صحيحات.

  • المصفوفة A قابلة للعكس،
  • لا حلول للمعادلة Ax = 0 غير الحل البديهي 0.
  • أعمدة المصفوفة A مستقلة خطيا.
  • AT المصفوفة المنقولة للمصفوفة A، هي مصفوفة قابلة للعكس. هذا يجعل صفوف المصفوفة A مستقلة خطيا أيضا كما هن أعمدتها.

مثالعدل

لتكن المصفوفة التالية ذات البُعد الثاني:

 

هذه المصفوفة قابلة للعكس لكون محددها مختلفا عن الصفر.  .

المصفوفة التالية غير قابلة للعكس لأن محددها يساوي الصفر:

 

كيا يظهر فيما يلي  

طرق عكس مصفوفةعدل

لحساب معكوس المصفوفة، هناك عدة طرق لحساب معكوس المصفوفة واكثرها بساطة موصوف بالخوارزمية التالية: المدخل: مصفوفة (A(n*n. المخرج: A−1

  • نوسع المصفوفة ِA بإضافة دالة الوحدة عن يمينها
  • نبدا بالسطر الأخير للدالة A يجب أن نقوم بعمليات أساسية على السطر بحيث يصبح بالشكل التالي :(0001...0)
  • نقوم بما فعلناه من عمليات أساسية بنفس الترتيب على دالة الوحدة
  • نقوم بهذا لكل سطر بحيث يجب علينا القيام بالعمليات الأساسية حتى نحصل على المتجه المناسب أي : ان كنا في السطر i يجب
  • ان نجعل السطر ال-i بالشكل التالي: (000...0001...0)أي ان 1 يجب أن يكون في الخانة i
  • وبالقيام بما فعلناه في السطر ال-i على مصفوفة الوحدة نحصل في مصفوفة الوحدة على المصفوفة العكسية بينما في ِA على مصفوفة الوحدة
  • ان تعذر القيام بذلك فذلك يعني ان للمصفوفة لا يوجد معكوس.
  • حساب محددة المصفوفة والتأكد أنه لا يساوى صفر
  • حساب المصفوفة المرتبطة
  • حساب المعكوس

حذف غاوسيعدل

حذف غاوس-جوردان هو خوارزمية تمكن أن تستعمل من أجل تحديد ما إذا كانت مصفوفة ما قابلة للعكس أم لا ومن أجل تحديد هذا العكس إ.ذا كان موجودا.

طريقة نيوتنعدل

انظر إلى طريقة نيوتن

طريقة كايلي-هاميلتونعدل

انظر إلى مبرهنة كايلي-هاميلتون

التفكيك إلى جداء القيم الذاتيةعدل

تطبيقاتعدل

ايجاد معكوس مصفوفةعدل

يمكن إيجاد معكوس المصفوفة من القانون التالي:  

حيث |A| يقصد بها محددة المصفوفة و adj A هي المصفوفة المرتبطة.

المصفوفة الشاذةعدل

المصفوفة الشاذة (singular matrix) هي المصفوفة التي ليس لها معكوس ويمكن تحديد ما إذا كانت المصفوفة شاذة أو لا إذا كانت 0=|A| فهي مصفوفة شاذة. في هذه الحالة يمكن الاستعانة بعملية مشابهة ألا وهي عملية شبه عكس المصفوفة.

خواص معكوس المصفوفةعدل

  1. معكوس حاصل ضرب مصفوفتين غير شاذتين يساوى حاصل ضرب معكوس كل من المصفوفتين
  2. معكوس مدور المصفوفة يساوى مدور معكوس المصفوفة

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن مصفوفة قابلة للعكس على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 16 سبتمبر 2017. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "معلومات عن مصفوفة قابلة للعكس على موقع enciclopedia.cat". enciclopedia.cat. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ "معلومات عن مصفوفة قابلة للعكس على موقع babelnet.org". babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. ^ "معلومات عن معكوس مصفوفة على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 20 سبتمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ^ "معلومات عن معكوس مصفوفة على موقع psh.techlib.cz". psh.techlib.cz. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

وصلات خارجيةعدل