مثلث زائدي

مثلث مرسوم على المستوي الزائدي (نسبة إلى القطع الزائد)

في الهندسة الزائدية، المثلث الزائدي (بالإنجليزية: Hyperbolic triangle)‏ هو مثلث مرسوم على المستوي الزائدي. يتكون من ثلاث قطع مستقيمة تسمى "الجوانب" أو "الحواف" وثلاث نقاط تسمى الزوايا أو الرؤوس.

مثلث زائدي مرسوم على سطح سرجي الشكل

تمامًا كما في حالة الفضاء الإقليدي، توجد دائمًا ثلاث نقاط من الفضاء الزائدي [الإنجليزية] ذات بعد اختياري على نفس المستوي. ومن ثم فإن المثلثات المستوية الزائدية تصف أيضًا المثلثات الممكنة في أي بُعد أعلى للفضاءات الزائدية.

تعريفعدل

يتكون المثلث الزائدي من ثلاث نقاط غير استقامية وثلاثة قطع مستقيمة بينها.[1]

خصائصعدل

تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الإقليدية (المستوية):

تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

  • مثلثان لهما نفس مجموع الزاوية متساويان في المساحة
  • يوجد حد أعلى لمساحة المثلثات.
  • يوجد حد أعلى لنصف قطر الدائرة المحاطة.
  • يتطابق المثلثان إذا وفقط إذا كانا يتطابقان مع جداء منته لانعكاسات خطية.
  • مثلثان متساويان في الزوايا المتناظرة متطابقان (أي أن جميع المثلثات المتشابهة متطابقة).

للمثلثات الزائدية بعض الخصائص التي تتعارض مع خصائص المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

  • مجموع زاوية المثلث أقل من 180 درجة.
  • تتناسب مساحة المثلث مع نقص مجموع زواياه عن 180 درجة.

تحتوي المثلثات الزائدية أيضًا على بعض الخصائص غير الموجودة في الهندسات الأخرى:

  • لا تحتوي بعض المثلثات الزائدية على دائرة محيطة، فهذه هي الحالة عندما يكون أحد رؤوسها على الأقل نقطة مثالية أو عندما تقع جميع رؤوسها على دائرة لانهائية أو على دائرة فائقة أحادي الجنب.
  • المثلثات الزائدية نحيفة، وهناك مسافة قصوى δ من نقطة على حافة إلى أحد الحافتين الأخريين. أدى هذا المبدأ إلى ظهور الفضاء الزائدي δ.

حساب المثلثاتعدل

في جميع الصيغ المذكورة أسفل الجوانب a و b و c يجب قياسها بالطول المطلق، بحيث يكون الانحناء الغاوسي K للمستوي يساوي -1. بمعنى آخر ، من المفترض أن تكون الكمية R في الفقرة أعلاه مساوية لـ 1.

تعتمد الصيغ المثلثية للمثلثات الزائدية على الدوال الزائدية sinh و cosh و tanh.

حساب المثلثات القائمةعدل

إذا كانت C عبارة عن زاوية قائمة، فإن:

  • جيب الزاوية A هو الجيب الزائدي للجانب المقابل للزاوية مقسومًا على الجيب الزائدي للوتر.
sin A = sinh(الجانب المقابل)/sinh(الوتر) = sinh a/sinh c
cos A = tanh(الجانب المجاور)/tanh(الوتر) = tanh b/tanh c
.
  • ظل الزاوية A هو الظل الزائدي للساق المقابل مقسومًا على الجيب الزائدي للجانب المجاور.
tan A = tanh(الجانب المقابل)/tanh(الجانب المجاور) = tanh a/tanh b
.
cosh(الجانب المجاور) = cos B/sin A


  • جيب التمام الزائدي للوتر هو جداء جيوب تمام الساقين.
cosh(الوتر) = cosh(المجاور) cosh(المقابل)
  • جيب التمام الزائدي للوتر هو أيضًا جداء جيوب تمام الزوايا مقسومة على جداء جيوبهم.[2]
cosh(الوتر) = cos A cos B/sin A sin B =cot A cot B

العلاقات بين الزواياعدل

لدينا أيضًا المعادلات التالية:[3]

 
 
 
 
 

المساحةعدل

مساحة المثلث القائم هي:

 

أيضًا

 [بحاجة لمصدر][4]

مثلث متساوي الأضلاععدل

تعطي معادلات المثلثية للمثلثات القائمة أيضًا العلاقات بين الأضلاع s والزوايا A لمثلث متساوي الأضلاع.

العلاقات هي:

 
 

حساب المثلثات العامعدل

سواء كانت C زاوية قائمة أم لا ، فإن العلاقات التالية تبقى ثابتة: القانون الزائدي لجيب التمام هو كما يلي:

 

مبرهنتها الثنائية هي:

 

هناك أيضًا قانون الجيب:

 

وصيغة الأجزاء الأربعة:

 

التي هي مشتقة بنفس طريقة الصيغة المشابهة في حساب المثلثات الكروية.

مراجععدل

  1. ^ Stothers, Wilson (2000), Hyperbolic geometry, جامعة غلاسكو, مؤرشف من الأصل في 06 سبتمبر 2012 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link), interactive instructional website
  2. ^ Martin, George E. (1998). The foundations of geometry and the non-Euclidean plane (الطبعة Corrected 4. print.). New York, NY: Springer. صفحة 433. ISBN 0-387-90694-0. مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ Smogorzhevski, A.S. (1982). Lobachevskian geometry. Moscow 1982: Mir Publishers. صفحة 63. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: location (link)
  4. ^ "Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths". ستاك إكستشينج Mathematics. مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2020. اطلع عليه بتاريخ 11 أكتوبر 2015. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)