إنشاء بمسطرة وفرجار

إنشاءات الفرجار والمسطرة مجموعة مسائل قديمة في الهندسة المستوية يشترط فيها إنشاء أطوال أو زوايا معينة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.

إنشاء مضلع سداسي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة.

التاريخعدل

انظر إلى تاريخ الرياضيات اليونانية. انظر إلى بيير وانتزل وإلى عدد متسام وإلى فيردينوند فون ليندمان.

إنشاء القطععدل

من الممكن حسب مبرهنة طاليس ومبرهنة فيثاغورس إنشاء قطع طولها كما يلي:[1]

  • قطعة طولها جمع، فرق, جذاء أو خارج طول قطعتين معلومتين.
  • قطعة طولها جذر مربع طول قطعة معلومة.

خطوات تعيين مركز دائرة : نرسم قطعة مستقيمة ثم نعين عليها النقطتين أ ب، نقيم عمود من أ يقطع الدائرة في وثم نقيم عمود من ب يقطع الدائرة في ع نصل بخط من أ إلى ع ثم نصل بخط من ب إلى وونقطة التقاطع بيننهما هي م.

إنشاء المستقيماتعدل

من الممكن إنشاء ما يلي:[2]

  • منصف زاوية.
  • واسط زاوية.

خطوات تعين مركز الدائرة قمنا برسم دائرة ثم رسم قطعة مستقيمة تقطع الدائرة اقامة عمود من النقطة أ لقطع الدائرة في نقطة واقامة عمود من النقطة ب لقطع الدائرة في ع ثم نصل بين ه، ب، ع مع أ، عند تقاطع الوترين توصلنا إلى تحديد مركز الدائرة.

رسم المتوازي رسم واسط قطعة ورسم المتعامد
 
رسم يوضح كيفية رسم واسط قطعة

إنشاء الأقواس والزواياعدل

من الممكن إنشاء زاوية متقايسة مع زاوية أخرى.

نقل الزواياعدل

نرسم قطعة مستقيمة ل نعين نقطتين س، ص نفتح الفرجار فتحة مناسبة نركز الرأس المدبب في رأس الزاوية المعلومة أ ب ج وأرسم قوساً يقطع ضلعيها في النقطتين أ ب، نستخدم فتحة الفرجار السابق ونركز الرأس المدبب في النقطة س، وارسم قوساً يقطع المستقيم س ص في النقطة ع، افتح الفرجار فتحة طولها دو وركز الرأ س المدبب في ع وارسم قوساً يقطع القوس الأول في النقطة م صل س م بالمسطرة لتحصل على الزاوية المطلوبة.

إنشاءات مستحيلةعدل

اعتقد علماء الرياضيات الإغريق أن المسائل اللائي لم يستطيعوا حلحلتها والمتعلقة بإنشاءات المسطرة والبركار أنها صعبة. لم يعتقدوا أنها مستحيلة. في العصر الحالي، بُرهن بشكل قاطع أن هذه المعضلات مستحيلة الحل.

هذه بعض الإنشاءات المستحيلة:[3]

تربيع دائرةعدل

تربيع دائرة أي رسم مربع مساحته تساوي مساحة دائرة ما. تربيع الدائرة يعني انشاء قطعة طولها يساوي π. هذا العدد متسام.

انظر إلى مثلث كيبلر.

مضاعفة مكعبعدل

مضاعفة مكعب أي إنشاء مكعب حجمه ضعف حجم مكعب ما.

تثليث زاويةعدل

تثليث زاوية أي تقسيم زاوية ما إلى ثلاث أقسام متساوية.

إنشاء مضلعات منتظمةعدل

 
إنشاء خماسي منتظم

بعض من المضلعات المنتظمة قابل للإنشاء، وبعضها غير قابل للإنشاء.

برهن كارل فريدريش غاوس في عام 1796 على أن سبعة عشري أضلاع منتظما قابلٌ للإنشاء. بعد ذلك بخمس سنوات، برهن أن متعدد أضلاع منتظم عدد أضلاعه يساوي n، هو قابل للإنشاء إذا كانت العوامل الأولية الفردية عند تفكيك n إلى جداء أعداد أولية، أعدادا لفيرما، مختلفةً الواحدة منهن عن الأخرى.

الخماسي المنتظم مثالا على ذلك. السباعي المنتظم، أي مضلع له سبعة أضلاع متساوية وسبعة زوايا متساوية، مثال على ذلك.

انظر أيضاعدل

مراجععدل

  1. ^ Godfried Toussaint, "A new look at Euclid’s second proposition," The Mathematical Intelligencer, Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.
  2. ^ Underwood Dudley (1983), "What To Do When the Trisector Comes" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 5 (1): 20–25, doi:10.1007/bf03023502, مؤرشف من الأصل (PDF) في 19 يونيو 2018 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  3. ^ A. Baragar, "Constructions using a Twice-Notched Straightedge", The American Mathematical Monthly, 109 (2), 151 -- 164 (2002).

وصلات خارجيةعدل