عدد فيرما

Question book-new.svg
تعرَّف على طريقة التعامل مع هذه المسألة من أجل إزالة هذا القالب.يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

في الرياضيات، عدد فيرما (بالإنجليزية: Fermat number)‏ هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:

حيث n هو عدد صحيح غير سالب. سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد.

إذا كان العدد 2n + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.

لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F0 وF1 وF2 وF3 وF4.

الخصائص الأساسيةعدل

تحقق أعداد فيرما العلاقات ذاتية الاستدعاء التالية:

 
 

كلما توفر n ≥ 1.

 
 

كلما توفر n ≥ 2. يُبرهن على هذه العلاقات باستعمال البرهان بالترجع.

هل أعداد فيرما أولية ؟عدل

درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن :

 

أثبت أويلر أن جميع العوامل القاسمة لأعداد فيرما تكتبن على الشكل k2n+1 + 1 ليثبت بعده إدوارد لوكاس أنهن تكتبن على الشكل k2n+2 + 1. (أي أنه أثبت بأن k الذي جاء في صيغة أويلر زوجي).

تعميل أعداد فيرماعدل

أعداد فيرما التسعة الأولى هن :

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4,294,967,297
= 641 × 6,700,417
F6 = 264 + 1 = 18,446,744,073,709,551,617
= 274,177 × 67,280,421,310,721
F7 = 2128 + 1 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
= 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F8 = 2256 + 1 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
= 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321


العام المخترع عدد فيرما العامل
1732 أويلر    
1732 أويلر   (fully factored)  
1855 توماس كلوسين    
1855 كلوسين   (fully factored)  
1877 بيرفوشين    
1878 بيرفوشين    
1886 Seelhoff    
1899 Cunningham    
1899 Cunningham    
1903 Western    
1903 Western    
1903 Western    
1903 Western    
1903 Cullen    
1906 Morehead    
1925 Kraitchik    

الأعداد شبه الأولية وأعداد فيرماعدل

مبرهنات أخرى حول أعداد فيرماعدل

لأي عدديين صحيحين موجبين m < n العلاقة التالية تتحقق

 

علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاءعدل

 
عدد أضلع متعددات القابلة للإنشاء عدد أضلاعها يذهب إلى حدود الألف (الغليظ) أو بعدد فردي من الأضلاع (الأحمر)

طور كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية، فأعطى شرطا كافيا لقابلية متعددٍ للأضلاع للإنشاء بالمسطرة والبركار. ادعى غاوس أن شرطه ليس كافيا فحسب، وإنما هو ضروري أيضا، ولكنه لم ينشر برهانه على ذلك. جاء بالبرهان الكامل عام 1837 عالم الرياضيات الفرنسي بيير فانتزل، مما جعل هذه النتيجة تعرف باسم مبرهنة غاوس-فانتزل.

متعددٌ للأضلاع عدد أضلاعه يساوي n قابل للإنشاء بالمسطرة والبركار وحدهما إذا وفقط إذا كان n جداءا لقوةٍ لاثنين من جهة، ولائحة من أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر، من جهة أخرى. بتعير آخر، إذا وفقط إذا كان n يكتب على شكل n = 2kp1p2ps حيث k عدد طبيعي موجب وحيث pi هن أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر.

انظر إلى مؤشر أويلر.

تطبيقات أعداد فيرماعدل

توليد الأعداد شبه العشوائيةعدل

حقائق مهمة أخرىعدل

أعداد فيرما المعممةعدل

أعداد فيرما الأولية المعممةعدل

انظر أيضًاعدل

مراجععدل

  • 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
  • S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475—478.
  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), سبرنجر, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3,A12,B21.
  • Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171—173.
  • Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95—112.
  • A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111—115.

وصلات خارجيةعدل