افتح القائمة الرئيسية
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونارد أويلر هي كما يلي :

إذا كان n عددا طبيعيا وa أوليا مع n، إذن
حيث الدالة مؤشر أويلر

في 1736، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات.

النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، و يمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل.

يمكن استخدام المبرهنة لإيجاد البواقي لإعداد ذات قوى كبيرة ل"n" بسهولة. على سبيل المثال: لإيجاد وحدة الآحاد للعدد 7222 والذي يكافئ 7222 (mod 10)

≡ 74 × 55 + 2 ≡ (74)55 × 72 ≡ 155 × 72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

البرهانعدل

لتكن {(R = {x1, x2, ..., xφ(n نظام بواقي مصغر (mod n) ولتكن a عدداً صحيحاً أولي نسبياً مع n.

البرهان مبني على أن الضرب بـa يدوّر الباقي xi: بكلمات أخرى إذا كان (axjaxk (mod n فإن j = k.

ما يعني أن المجموعات R و {(aR = {ax1, ax2, ..., axφ(n

بأخذهم (mod n) فإن لهم نفس الباقي ، مايعني أن حاصل ضرب عناصر المجموعة R مساوٍ لـ aR :

  وبالتالي نستطيع التخلص من xi ونحصل على مبرهنة أويلر:
 

راجع أيضاًعدل

المصادرعدل

  • Gauss، Carl Friedrich؛ Clarke، Arthur A. (translator into English) (1986)، Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition)، New York: Springer، ISBN 0-387-96254-9 
  • Gauss، Carl Friedrich؛ Maser، H. (translator into German) (1965)، Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition)، New York: Chelsea، ISBN 0-8284-0191-8 
  • Hardy، G. H.؛ Wright، E. M. (1980)، An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition)، Oxford: مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-853171-5  == وصلات خارجية ==
  • إيريك ويستاين، {{{title}}}، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).


 
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.