افتح القائمة الرئيسية

من أجل مبرهنات أخرى مسماة نسبة إلى بيير دي فيرما، انظر إلى مبرهنة فيرما (توضيح).

مبرهنة فيرما الصغرى
النوع مبرهنة  تعديل قيمة خاصية حالة من (P31) في ويكي بيانات
الصيغة [1]
[1]  تعديل قيمة خاصية تعريف الصيغة (P2534) في ويكي بيانات
سميت بأسم بيير دي فيرما  تعديل قيمة خاصية سمي باسم (P138) في ويكي بيانات

مبرهنة فيرما الصغرى (بالإنجليزية: Fermat's little theorem) هي مبرهنة تنص على أنه إذا كان p عددا أوليا، فإنه ولأي عدد صحيح a ،تكون ap - a قابلة للقسمة على p،ويمكن كتابتها رياضياتيا بالعلاقة:

سميت المبرهنة بهذا الاسم لتمييزها عن مبرهنة فيرما الأخيرة. بعبارة أخرى, إذا أخذ عدد a وضرب في نفسه p مرة ثم طرح منه a فالعدد الناتج من هذه العمليات يقبل القسمة على p.

يمكن أيضاً كتابة العلاقة السابقة بالصورة:

إذا كان .

محتويات

مبرهنة فيرما الصغرىعدل

ليكن p عددا اوليا موجبا

 

          ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في  

نتيجة مبرهنة فيرما الصغرىعدل

ليكن p عددا اوليا موجبا

اذا كان   فإن  

البرهنةعدل

سنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0. خطوة الأساس هي حينما 0 p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1. ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال:

استدلالعدل

لأي عدد أولي p فإن

 

لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n

 

حيث المعاملات معاملات ذات الحدين
 

والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب

 

و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0 < p > i فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام ، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي

 
وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير .

البرهان بالاستقراءعدل

لنفرض أن (kpk (mod p و لننظر لـk+1)p) من الاستدلال لدينا

 

وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (kpk (mod p; وببساطة 1p = 1

وبالتالي نحصل على  

وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎

عمومياتعدل

إذا كان p' عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث m يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: aman (بترديد p). (≡ يوافق بترديد)

انظر أيضاعدل

مراجععدل

وصلات خارجيةعدل