افتح القائمة الرئيسية

في الرياضيات، تنص مبرهنة ويلسون (بالإنكليزية: Wilson's theorem) على أن عددا صحيحا طبيعيا ما n > 1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان جداء كل الاعداد الصحيحة الموجبة الأصغر قطعا من n أصغر بواحدٍ من مضاعفٍ ما ل n. أي أنه إذا توفر مايلي:

و بتعبير آخر، إذا وفقط إذا كان مضاعفا ل n.

محتويات

التاريخعدل

توصل ابن الهيثم لهاته المبرهنة في العصور الوسطى،[1] لكنها نسبت إلى جون ويلسون تلميذ الرياضياتي الإنجليزي إدوارد ويرينغ الذي صاغها في القرن الثامن عشر. أعلن ويرينغ تلك المبرهنة في عام 1770، على الرغم من أنه لا هو ولا ويلسون أمكنهم إثبات ذلك. استطاع جوزيف لاغرانج في عام 1773، أن يقدم أول إثبات للمبرهنة.[2] هناك أدلة على أن ليبنيز كان على علم أيضًا بتلك المبرهنة قبل ذلك بنحو قرن، لكنه لم ينشر ذلك.

مثالعدل

يبين الجدول التالي في عموده الأول قيم n من 2 حتي 30، و قيم   في عموده الثاني. أما العمود الثالث فيحتوي على الباقي عند قسمة   على n. لُونت السطور حيث n عدد أولي باللون الوردي بينما لُونت السطور حيث n غير أولي باللون الأخضر.

جدول البواقي بترديد n
     
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0

براهينعدل

البرهان الأولعدل

حالة العدد غير الأوليعدل

إذا كان n عدداً غير أولي (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي q، حيث n-2 ≥q≥ 2 . إذا كان !(n − 1) يطابق 1- (mod n) فإنه سيطابق 1-(mod q). ولكن (n − 1)! ≡ 0 (mod q) .

حالة العدد الأوليعدل

النتيجة واضحة عندما p = 2 ، ولذلك سنفرض أن p عدد أولي فردي، p ≥ 3.
بما أنه يوجد لكل باقي (mod p) معاكس ضربي وحيد (mod p) غير صفري a−1. من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة لa التي تحقق أن (aa−1 (mod p هي (a ≡ ±1 (mod p. بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل !(p − 1) إلى أزواج،[3] بحيث يكون ضرب كل زوجين ≡ 1 (mod p).
وبذلك تثبت المبرهنة.

برهان لاغرانجعدل

استعمل لاغرانج الحدودية

 

حيث نشرها و حدد معاملاتها باستعمال الخاصية

 

ثم أثبت إذن،أنه عندما يكون n أوليا،فإن جميع المعاملات - باستثناء الأول الذي يساوي 1 و الأخير الذي يساوي !(n-1) - مضاعفات ل n.

ثم،باستعمال نفس المتساوية دائما،لاحظ أن آخر معامل مضروبا فيn–1 يساوي مجموع كل المعاملات الأخرى و استنتج أن n – 1)! + 1) مضاعف ل n.

تطبيقاتعدل

هذه المبرهنة لا تستعمل من أجل تحديد أولية عدد ما لأنه سرعان ما يصير !(n-1) كبيرا جدا بمجرد ما يصير n كبيراً نسبياً.

بواقي تربيعيةعدل

باستعمال مبرهنة ويلسون، لكل عدد أولي فردي p = 2m + 1، نستطيع ترتيب الطرف الأيسر ل

 

للحصول على المتساوية

 

هذا يصبح

 

أو

 

تعميماتعدل

تعميم بسيطعدل

تعميم غاوسعدل

أثبت غاوس أن

 

حيث p عدد فردي و   عدد صحيح موجب.

المراجععدل

  1. ^ O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham"، MacTutor History of Mathematics archive 
  2. ^ Joseph Louis Lagrange, "Demonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 2, pages 125–137 (1771). (Note: Lagrange proved Wilson's theorem in 1773. In 1773, when the Berlin Academy finally published its Mémoires for 1771, Lagrange's proof was simply inserted in the Mémoires for 1771. See footnote [2] on page 499 of: Leonard Euler; A. P. Juskevic and R. Taton (ed.s), Correspondence de Leonard Euler avec A. C. Clairaut, J. d'Alembert et J. L. Lagrange (Cambridge, Massachusetts: Birkhäuser, 1980) [in French].)
  3. ^ When n = 3, the only القواسم الوحيدة هي ±1
  • Ore، Oystein (1988). Number Theory and its History. Dover. صفحات 259–271. ISBN 0-486-65620-9. 

وصلات خارجيةعدل