افتح القائمة الرئيسية

جداء مباشر أو حاصل ضرب مباشر في الرياضيات، يمكن تحديد جداء مباشرا من خلال الأجسام المعروفة بالفعل. هذا شامل أكثر من الجداء الديكارتي في المجموعات الأساسية، جنبا إلى جنب مع تعبير محدد بشكل مناسب على جداء المجموعات.

نظري أكثر، حيث يمكن التحدث عن الجداء في نظرية الفئة، الذي يضفي الصبغة الرسمية على هذه المفاهيم.

ومن الأمثلة على ذلك جداء المجموعات (أنظر جداء ديكارتي)، والمجموعات (الموصوفة أدناه)، وجداء الأزواج وغيرها من التعابير الجبرية. وأيضا جداء المساحات الطوبولوجية هو مثال آخر عن الجداء المباشر .

وهناك أيضا حاصل مباشر - في بعض المجالات يستخدم بنفس المعنى، وهو مفهوم مختلف في بلدان أخرى.

أمثلةعدل

  • إذا كنا نفكر في   مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن الجداء المباشر   هو بالضبط جداء ديكارتي فقط  
  • إذا كنا نفكر في   مجموعة الأعداد الحقيقية مع الإضافة، فإن الجداء المباشر   لا يزال يتكون من  .

الفرق بين هذا والمثال السابق هو أن   هي الآن مجموعة. ويتعين علينا أيضا أن نقول كيف نضيف عناصرها. ويتم ذلك بالسماح ب  .

  • إذا كنا نفكر في   مجموعة الأعداد الحقيقية فإن الجداء المباشر   مرة أخرى يتكون من  . لكي نجعل هذا في مجموعة نقول كيف يتم جمع عناصرها،  , وكيفية ضربها  
  • ومع ذلك، إذا كنا نفكر في   مجموعة الأرقام الحقيقية فإن الجداء المباشر   لا وجود له - وهو تعريف ببساطة ساذج   وبخلاف الأمثلة المذكورة أعلاه لن يؤدي ذلك إلى حقل لأن العنصر   ليس لديه عنصر عكسي له.
  • وبطريقة مماثلة، يمكننا أن نتحدث عن الجداء أكثر، مثلا   ويمكننا أيضا أن نتحدث عن الجداء بالعديد من الطرق، مثلا  .

مجموعة جداء مباشرعدل

في نظرية الزمرة يمكن تحديد الجداء المباشر لمجموعتين (G, ∘) و (H, ∙)، وهو ما يشير إليه g × h. بالنسبة للمجموعات التي يتم جمعها مع بعضها قد يطلق عليها أيضا الحاصل المباشر لمجموعتين، وهو ما يشير إليه   وهي تعرف على النحو التالي: مجموعة العناصر الجديدة هي الجداء الديكارتي لمجموعة العناصر 'G و H وهو {(g, h): gG, hH}

  • على هذه العناصر وضعت عملية وحددت عناصرها وهي:
    (g, h) × (g', h' ) = (gg', hh')

(ملاحظة (G, ∘) قد تكون هي نفسها (H, ∙).) هذا التعبير يعطي مجموعة جديدة. وهي تتألف من مجموعة فرعية عادية من تساوي الشكل إلى g (بالنظر إلى عناصر الشكل (g, 1))، و تساوي الشكل إلى h (تتالف من العناصر (1, h)). هذا التعبير يعطي مجموعة جديدة. ولها مجموعة فرعية عادية تشاكل إلى G (تعطى من قبل عناصر النموذج (g , 1)، وإسومورفيك إلى H (تضم العناصر (1, h)).

كما يحمل العكس أيضا نظرية التقدير التالية: إذا كانت المجموعة K تحتوي على مجموعتين فرعيتين عاديتين G و H، بحيث أن K= GH و تقاطع G و H يحتوي فقط على المطابقة، ثم K هو 'تشاكل إلىG× H. تخفيف هذه الشروط، التي تتطلب مجموعة فرعية واحدة فقط لتكون طبيعية، ويعطي جداء نصف مباشر.

على سبيل المثال، استخدم نسختين من المجموعة الفريدة من نوعها (حتى التشاكل) من الترتيب 2, C 2: ك {1, a} و {1, b}. ثم C2×C2 = {(1,1), (1,b), (a,1), (a,b)}، مع عنصر التشغيل حسب العنصر. على سبيل المثال، (1,b)*(a,1) = (1*a, b*1) = (a,b)، و(1,b)*(1,b) = (1,b2) = (1,1). في حاصل الضرب المباشر، نحصل على بعض تشاكل الزمر الحرة: خرائط الإسقاط:   ودعا تنسيق وظائف.

أيضا، يتم تحديد كل الزمر F للجداء المباشر تماما من خلال وظائف المكون  . بالنسبة إلى أي مجموعة ( G , ∘) وأي عدد صحيح n ≥ 0، فإن التطبيق المتعدد للجداء المباشر يعطي مجموعة الكل n - زوج مرتب Gn (لمجموعة n = 0 المجموعة التافهة). أمثلة:

  • Zn
  • Rn

إضافة إلى فضاء متجهي مبني وهو ما يسمى بفضاء إقليدي

الجداء المباشرة للفضاء الحلقيعدل

الجداء المباشر للفضاء الحلقي (عدم الخلط مع الجداء الموتر) مشابه جدا لواحدة من المجموعات المحددة أعلاه، وذلك باستخدام الجداء الديكارتي مع إجراء تشغيل الإضافة ومعاملات الضرب تتوزع أكثر من جميع المكونات. ابتداء من R نحصل على الفضاء الإقليدي Rn، النموذج الحقيقي للفضاء المتجهي للأبعاد الحقيقية فالجداء المباشر لRm و Rn هو Rm+n.

ملاحظة إن الجداء المباشر لمؤشر محدود   مطابق للحاصل المباشر  .

الحاصل المباشر والجداء المباشر يختلفان فقط في الأرقام القياسية اللانهائية، حيث يكون لجميع عناصر الحاصل المباشر صفر ولكن بالنسبة لعدد منتهي من المدخلات وهي مزدوجة بمعنى نظرية الأصناف: فالحاصل المباشر هو المتدخل في الجداء، في حين أن الجداء المباشر هو المنتج.

على سبيل المثال، نعتبر   و  ، ما لا نهاية لها جداء مباشر وحاصل مباشر من الأعداد الحقيقية. التسلسل فقط مع عدد منتهي من غير صفر في Y على سبيل المثال، (1،0،0،0، ...) هو في Y، ولكن (1،1،1،1، ...) ليس كذلك.

كل من هذين التسلسلين في الجداء المباشر X، في الواقع. وY هي مجموعة فرعية مناسبة من X (يعني، Y ⊂ X).[1][2]

مراجععدل

  1. ^ W.، Weisstein, Eric. "Direct Product". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 24 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 10 فبراير 2018. 
  2. ^ W.، Weisstein, Eric. "Group Direct Product". mathworld.wolfram.com (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 2 ديسمبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 10 فبراير 2018.