افتح القائمة الرئيسية

معيار المصفوفة

في الرياضيات، معيار المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix norm) هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.

تعريفعدل

في ما يلي: الرمز   سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن   يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات   صف و  عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال  ، أيضًا   هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة  .

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى   بحيث إذا كانت   تمثل معيار المصفوفة   فإن:

  •  
  •   إذا كان  
  •   لكل   في   لكل المصفوفات   تنتمي إلى  
  •   لكل المصفوفات   و  في  

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

  •   لكل المصفوفات   و  في  

معيار العامل الرياضيعدل

إذا كان معيار المتجه في   و  معطي (حيث   هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

 

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب  ) كما يلي:

 

حيث p ≥ 1

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

  •   وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
  •   وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
  •   هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة   من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

  • إذا كانت المصفوفة   معطاة كالتالي
 

فإن

 

و

 

عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية: Euclidean norm) وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةAA :

 [1]

حيث A تمثل مرافق المصفوفة A.

مراجععدل

  1. ^ Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, §5.2, p.281, Society for Industrial & Applied Mathematics, June 2000.