معيار (رياضيات)

في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار أو نظيم (بالإنجليزية: Norm)‏ هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما. بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف).

  لمعانٍ أخرى، طالع معيار (توضيح).

تعريف

ليكن $E$ فضاء متجهي معرف على حقل $K$مزود بقيمة مطلقة $|\centerdot |$

نعرف المعيار على أنه كل دالة ${\mathcal {N}}$:

$${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {N}}:\quad &E\longrightarrow \mathbb {R} \\&x\longmapsto {\mathcal {N(x)}}\\\end{alignedat}}$$

حيث : $\forall (x,y)\in E^{2}\quad {\mathcal {\forall }}\lambda \in K$

• ${\mathcal {N}}(x)=0\quad \Longrightarrow \quad x=0_{E}$ (حيث $0_{E}$هي المتجهة المنعدمة ) .
• ${\mathcal {N}}(\lambda x)=|\lambda |\operatorname {\mathcal {N}} (x)$ (التجانس المطلق).
• ${\mathcal {N}}(x+y)\leq {\mathcal {N}}(x)+{\mathcal {N}}(y)$ (متباينة المثلث).

ملاحظة بخصوص التعريف

بعض الكتب تشترط في تعريفها أن تحقق ${\mathcal {N}}$ خاصية أخرى وهي ${\mathcal {N}}(x)\geq 0$ لكل $x$ من $E$

لكنه لا توجد ضرورة لإدراجها في التعريف ما دامت الخاصيات المذكورة في التعريف تستلزم تحقيق هذه الخاصية :

$0={\mathcal {N}}(0_{E})={\mathcal {N}}(x+(-x))\leq {\mathcal {N}}(x)+|-1|{\mathcal {N}}(x)=2{\mathcal {N}}(x)$

$$\Longrightarrow \qquad 0\leq {\mathcal {N}}(x)$$

أمثلة

المعيار الاقليدي

في فضاء متجهي إقليدي $E$ وهو فضاء متجهي $E$ معرف على حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$ مزود بجداء سلمي $\langle x|y\rangle$ (لكل عنصر$x$ و $y$من $E$) و بُعده منتهٍ كمثال الفضاء المتجهي $\mathbb {R^{n}}$

نعرف ونرمز للمعيار الاقليدي بـ :

$\lVert x\rVert =\lVert x\rVert _{2}:={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$

في حالة المثال $\mathbb {R^{n}}$ يكون الجداء السلمي غالبا (لأنه يمكن إنشاء جداء سلمي مختلف ) :

$\langle x|y\rangle :=\sum _{k=1}^{n}x_{k}.y_{k}$

انظر أيضا

• فضاء متجهي معياري

||x|| و ||−x|| ليسا بالضرورة متساويين.