متتالية فيبوناتشي

معلومات عامة
جزء من	مثلث باسكال
سُمِّي باسم	ليوناردو فيبوناتشي
يدرسه	Theory of Fibonacci Numbers (en)
تعريف الصيغة	; ;

في الرياضيات، متتالية فيبوناتشي أو أعداد فيبوناتشي (بالإنجليزية: Fibonacci numbers)‏ نسبة إلى عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي، هي متتالية يساوي فيها الحد مجموع الحدين السابقين.

تبليط المربعات حيث يكون الجانبان هما أعداد فيبوناشي المتتالية في الطول

حدود هذه المتتالية الأولى هن الأعداد التالية:

0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots .

أول حدي متتالية فيبوناتشي هما الصفر والواحد، ولكن بعض المدارس حذفن الحد 0 الأساسي واستبدلنه بالحد، وبعضهن بدأ المتتالية بالواحد والاثنين. ويبقى كل حد هو مجموع الحدين السابقين له في جميع هذه الحالات.

تعرف المتتالية $F_{n}$ لعدد فيبوناتشي بالوصف الرياضياتي مستعملا علاقة استدعاء ذاتي:

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\!\,

مع القيم الناتجة عنها

F_{0}=0

و

F_{1}=1

سميت متتالية فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردو البيسي والمعروف باسم فيبوناتشي (باللاتينية: Fibonacci). عرف هذا العالم هذه المتتالية في كتاب له اسمه ليبري أباتشي نشره عام 1202، رغم أنها كانت معروفة وموصوفة بالسابق في الرياضيات الهندية.^[3]^[4]، مائتين سنة قبل الميلاد، في عمل قام به بينغالا.

تظهر متتالية فيبوناتشي في العديد من المواقع في الرياضيات إلى درجة أن هناك جريدة مختصة في دراستها تسمى دورية فيبوناتشي. تتضمن تطبيقات المتتالية تطبيقات في مجال علم الحاسوب، تقنية فيبوناتشي للبحث مثالا.

متتالية فيبوناتشي مرتبطة ارتباطا شديدا بالنسبة الذهبية. تعبر صيغة بِينيت عن حد متتالية فيبوناتشي من الدرجة n مستعملة n ذاته إضافة إلى النسبة الذهبية، ومبينة أن النسبة بين حدين متتابعين من المتتالية تؤول إلى النسبة الذهنية عندما يؤول n إلى ما لا نهاية له.

ترتبط أعداد فيبوناتشي أيضا بأعداد لوكاس $L_{n}$ ، كونهما تكونان زوجا متكاملا من متتالية لوكاس: $U_{n}(1,-1)=F_{n}$ و $V_{n}(1,-1)=L_{n}$ .

تعريف

لولب فيبوناتشي: an approximation of the golden spiral created by drawing circular arcs connecting the opposite corners of squares in the Fibonacci tiling; (see preceding image)

لولب فيبوناتشي بطريقة رسم أقواس متصلة بالزوايا المتقابلة من المربعات في تبليط فيبوناتشي، ويستخدم لأحجام المربعات التالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، انظر الدوامة الذهبية ^{[الإنجليزية]}

أول 21 من أرقام فيبوناتشي (متسلسلة A000045 في OEIS)، ومرقمة بالعلامة F_ن حيث ن = 0, 1, 2,... ,20 هي:^[5]^[6]

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

التاريخ

انظر أيضا تاريخ النسبة الذهبية.

صفحة من الكتاب ليبر أباتشي لفيبوناتشي الموجود في المكتبة الوطنية المركزية في فلورنسا مبينا (في العلبة يمينا) متتالية فيبوناتشي مع موقع الحد في المتتالية مشارا إليه بالأعداد اللاتينية والرومانية وبالأرقام العربية الهندية.

عرف الهنود القدماء متتالية فيبوناتشي قبل ظهورها في أوروبا، حيث طبقوها في علم أوزان الشعر.^[7]

وجاء الدافع لذلك من العروض السنسكريتية، حيث المقاطع الطويلة لها فترة = 2 والمقاطع القصيرة لها فترة = 1. يمكن تشكيل أي نمط له فترة ن وذلك بإضافة مقطع قصير إلى نمط من فترة ن − 1، أو مقطع طويل لنمط من فترة ن − 2، وبالتالي فإن عروض الشعر تظهر أن عدد أنماط فترة ن هو مجموع الرقمين السابقين من التسلسل. وبعد ذلك بدأ المؤلفون باستخدام الخوارزميات لتصنيف أو عدم تصنيف تلك الأنماط (بمعنى إيجاد النمط المرقم بالكاف من الفترة ن)، مما أدى لاكتشاف أرقام فيبوناتشي عليا. وقد استعرض دونالد كانوث تلك النتيجة في كتابه فن برمجة الحاسوب.^[8]^[9]

وقد بدأ ليوناردو البيسي المعروف باسم فيبوناتشي بدراسة تلك المتتالية في أوروبا في كتابه ليبر أباتشي (1202).^[10] واعتبر النمو على افتراض (وهو غير صحيح في علم الأحياء) مجموعة ارانب كالتالي: حقل به زوج من الأرانب حديثي الولادة إحداهما ذكر والآخر انثى، فالأرانب بإمكانها التزاوج عند بلوغ الشهر، لذا ففي نهاية الشهر التالي تكون الأنثى قد ولدت زوج من الأرانب؛ بافتراض أنه لم يمت أي أرنب خلال مدة معينة وبافتراض أن في كل شهر ينتج زوج من الأرانب (ذكر وأنثى) بدأ من الشهر التالي. فكان اللغز الذي طرحه فيبوناتشي هو: كم سيكون عدد الأزواج في السنة الواحدة؟

في نهاية الشهر الأول سيحصل تزاوج، ولكن يبقى أن هناك زوجا واحدا فقط.
في نهاية الشهر التالي، الأنثى تلد زوجا جديدا، لذا سيكون هناك زوجين من الأرانب في الحقل.
في نهاية الشهر الثالث، الأنثى الأصل تلد زوجا جديدا، مما يصبح العدد هو 3 أزواج من الأرانب في الحقل.
في نهاية الشهر الرابع تلد الأُنثى الأصل زوجا من الأرانب، والأنثى التي ولدت قبل شهرين تلد أول زوج لها من الأرانب. مما يصبح العدد هو 5 أزواج.

وفي نهاية المطاف عند الشهر ن، عدد الأزواج من الأرانب يساوي عدد الأزواج المواليد (حيث هو عدد الأزواج في الشهر ن-2) زائد عدد الأزواج الأحياء عند آخر شهر. هذا هو أو العدد ن لمتتالية فيبوناتشي.^[11]

In a growing idealized population, the number of rabbit pairs form the Fibonacci sequence. At the end of the nth month, the number of pairs is equal to F_n.

أول من استعمل مصطلح متتالية فيبوناتشي هو عالم الرياضيات الفرنسي إدوارد لوكا والذي عاش خلال القرن التاسع عشر..

علاقتها بالنسبة الذهبية

حاول العلماء أن يفهموا هذه السلسلة، فقاموا بقسمة كل حد على الحد السابق له، فاكتشفوا أن هذه المتتالية تنفرد بخصائص كثيرة منها العلاقة مع النسبة الذهبية، ذلك أنه إذا اعتُبرت قسمة كل عدد من المتتالية على العدد الذي يسبقه (1÷1=1، 1÷2=2، 2÷3=1.5، 3÷5=1.6666666، 5÷8=1.6، 8÷13= 1.625، 13÷21 = 1.61538، …) يُلاحظ الاقتراب شيئا فشيئا من الرقم 1.618034 الذي يسمى الرقم الذهبي نظرا لخصائصه العجيبة في الرياضيات كما في الطبيعة.

أي متتالية على الصيغة An+2 = An+1 + An حيث A1 و A2 موجبان فإنه يقترب ناتج قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه من 1.618 شيئا فشيئا للرقم الذهبي.

أطلق العلماء على الرقم الذهبي اسم «فاي» أو «في» (phi) وبعد محاولة التوصل إلى النسبة بين أربعين حدا متتاليا في متتالية فيبوناتشي وجدوا انه يمكن تقريب «فاي» إلى 15 رقم عشري

Φ = 1.618033988749895, …

تتكون النسبة الذهبية من عددين هما 1.618034 و 0.618034 وكلا العددين هو المقلوب الحسابي للعدد الأخر.

الصيغة العامة

تملك متتالية فيبوناتشي تعبيرا منغلق الشكل. الصيغة العامة لمتتالية فيبوناتشي هي: $F(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n})$ مع: $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$ و $\varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\,$

و هذه بعض القيم: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,...

ويقترب ناتج قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه من 1.618 شيئا فشيئا للرقم الذهبي ويسمى هذا الرقم أيضا برقم التناسب المقدس والنسبة الذهبية.

تسمى هذه الصيغة صيغة بينيت نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي جاك فيليب ماري بينيه.

يمكن إثبات صحة الجملة العامة عن طريق الاستقراء الرياضي.^[12]

الأساس: لنوضح أن التعبير صحيح من أجل $n=0$ و $n=1$ :

$F(0)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{0}}{\sqrt {5}}}={\frac {1-1}{\sqrt {5}}}=0$

$F(1)={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1}}{\sqrt {5}}}={\frac {{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {1+{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}{\sqrt {5}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}=1$

خطوة الاستقراء : تبين أنه إذا كانت $F(n)$ و $F(n-1)$ صحيحة، فإن $F(n+1)$ صحيحة أيضا. يتم ذلك على النحو الاتي.^[12]

${\begin{aligned}F\left(k+1\right)&=F\left(k\right)+F\left(k-1\right)\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}}{\sqrt {5}}}+{\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}+\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+1\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}-\left(\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k-1}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{k+1}}{\sqrt {5}}}\end{aligned}}$

قد تصير متتالية هندسية

إذا ما أخذنا A1=1، A2=φ ، حيث φ هي الرقم الذهبي وطبقناها على المتتالية An+2 = An+1 + An فالناتج متتالية هندسيه أساسها φ.

خصائص المتتالية وقيمها

قد يبدو ملاحظا أن المرة 21 (13+34) تساوي 987. أو تلكم المرة 34 (21+55) تساوي 2584. باستخدام العلاقة المكررة يمكن للتسلسل أن يمتد إلى مؤشر سلبي ن. نتيجة ترضي المعادلة

فتكون المعادلة لتلك النتائج

F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.\!\,

وهذا التسلسل كاملا

\ldots ,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots

متسلسلات القوى

الدالة المولدة لمتتالية فيبوناتشي هي متسلسلة القوى التالية:

s(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}.

هذه المتسلسلة تتقارب حين يتوفر $|x|<{\frac {1}{\varphi }},$ ولمجموعها شكل مغلق بسيط هو:

s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}

ليكن $s(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }F_{n}z^{n}$ .

بضرب حدي العلاقة التي تعرف متتالية فيبوناتشي ب $z n +2$ وبعد ذلك بالجمع على جميع الأعداد الطبيعية n, يُحصل على: $s(z)-F_{0}-F_{1}z=z\left(s(z)-F_{0}\right)+z^{2}s(z)$ , علما أن $F_{0}=0$ و $F_{1}=1$ أي أن: $s(z)-z=zs(z)+z^{2}s(z)$ , أو أيضا $(1-z-z^{2})s(z)=z$ . يمكن أن نقسم الحدين على $1-z-z^{2}$ بما أن $z$ يختلف عن الجذرين $- φ$ و $1/ φ$ .

علاقتها بمسألة سيراكيز

مجموعة فيبوناتشي هي متتالية فيبوناتشي ولكنها بخلاف مجموعة من الأرقام لها صلات بالاعداد للكواكب والمجرات والتصنيفات النباتيه والحيوانيه ويقال عند الهنود القدماء قبل ظهور تلك المتتاليه ان هناك مجموعة من الاعداد ذات ترتيب معين له صلة باحداث يوميه في الحاضر والمستقبل متوقع حدوثها.

تطبيقات

في الرياضيات

أعداد فيبوناتشي هي المجاميع للأقطار المائلة السطحية المبينة باللون الأحمر في مثلث باسكال.

تظهر أعداد فيبوناتشي على شكل مجاميع في مثلث باسكال للأعداد الواقعة على أقطار مائلة (انظر إلى معامل ثنائي).

F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k-1}{k}}.

تظهر أعداد فيبوناتشي أيضا جوابا على معضلة معروفة في التحليل التوافقي والمتمثلة فيما يلي: كم عدد طرق كتابة عدد ما، مجموعا مرتبا من الرقمين الواحد والاثنين. الجواب هو $F n +1$ . على سبيل المثال، إذا كان n يساوي خمسة، فإن $F n +1 = F 6 = 8$

5 = 1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+1+2+1 = 1+2+1+1 = 2+1+1+1 = 2+2+1 = 2+1+2 = 1+2+2

.

تمكن عالم الرياضيات الروسي يوري ماتياسفيتش من البرهان على أن أعداد فيبوناتشي يمكن أن تعرف بمعادلة ديفونتية. فتح له ذلك باب برهان معضلة هيلبرت العاشرة.
متتالية فيبوناتشي هي مثال عن المتتاليات الكاملة. هذا يعني أن كل عدد صحيح طبيعي يمكن أن يكتب مجموعا لأعداد فيبوناتشي بدون استعمال أحد منهن أكثر من مرة.

في علم الحاسوب

استخدمت متتالية فيبوناتشي في تحليل الأسواق المالية وفي استراتيجيات مثل ارتداد فيبوناتشي وفي خوارزميات االكمبيوتر مثل تقنية فيبوناتشي للبحث وهيكلة بيانات تكدس فيبوناتشي ^{[الإنجليزية]}. وهي تظهر أيضا في الترتيبات البيولوجية^[13]، مثل تفريعات الأشجار وترتيب الأوراق على الساق وطرف الثمرة من الأناناس^[14] وتفتح الخرشوف والسرخس غير المتجعد وترتيب مخروط الصنوبر.^[15]

تستعمل أعدادَ فيبوناتشي بعض مولدات الأعداد شبه العشوائية.

في الطبيعة

انظر أيضا أنماط في الطبيعة.

Yellow chamomile head showing the arrangement in 21 (blue) and 13 (aqua) spirals. Such arrangements involving consecutive Fibonacci numbers appear in a wide variety of plants.

Illustration of Vogel's model for

n = 1 ... 500

في غيرها

متتالية فيبوناتشي العشوائية

انظر أيضا

مصادر

^ مُعرِّف موقع "عالَم الرياضيات"(MathWorld): FibonacciNumber. الوصول: 19 نوفمبر 2017.
^ https://web.archive.org/web/20190130113151/http://www.quipus.it/english/Andean%20Calculators.pdf. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2019-01-30. {{استشهاد ويب}}: الوسيط |title= غير موجود أو فارغ (مساعدة)
^ Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28–30, 1986. ISSN 0047-6269].
^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
^ By modern convention, the sequence begins with F₀=0. The Liber Abaci began the sequence with F₁ = 1, omitting the initial 0, and the sequence is still written this way by some.
^ The website [1] has the first 300 F_n factored into primes and links to more extensive tables. نسخة محفوظة 14 مارس 2018 على موقع واي باك مشين.
^ Susantha Goonatilake (1998). Toward a Global Science. Indiana University Press. ص. 126. ISBN:9780253333889. مؤرشف من الأصل في 2020-01-25. {{استشهاد بكتاب}}: |archive-date= / |archive-url= timestamp mismatch (مساعدة)
^ Donald Knuth (2006). The Art of Computer Programming: Generating All Trees—History of Combinatorial Generation; Volume 4. Addison-Wesley. ص. 50. ISBN:9780321335708. مؤرشف من الأصل في 2020-01-25. {{استشهاد بكتاب}}: |archive-date= / |archive-url= timestamp mismatch (مساعدة)
^ Rachel W. Hall. Math for poets and drummers. Math Horizons 15 (2008) 10-11. نسخة محفوظة 12 فبراير 2012 على موقع واي باك مشين. ^{[وصلة مكسورة]}
^ Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN:0-387-95419-8. Chapter II.12, pp. 404–405.
^ Knott، Ron. "Fibonacci's Rabbits". جامعة سري كلية الهندسة والعلوم الفيزيائية. مؤرشف من الأصل في 2019-03-07.
^ ^ا ^ب "Strong Induction | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بالإنجليزية الأمريكية). Archived from the original on 2020-11-11. Retrieved 2020-12-02.
^ S. Douady and Y. Couder (1996). "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF). Journal of Theoretical Biology. ج. 178 ع. 178: 255–274. DOI:10.1006/jtbi.1996.0026. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 أغسطس 2015. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
^ Jones، Judy (2006). "Science". An Incomplete Education. Ballantine Books. ص. 544. ISBN:978-0-7394-7582-9. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط author-name-list parameters تكرر أكثر من مرة (مساعدة)
^ A. Brousseau (1969). "Fibonacci Statistics in Conifers". Fibonacci Quarterly ع. 7: 525–532.

[5768c832b276bf6e03cead2588aee9b5e88957ae-1] مُعرِّف موقع "عالَم الرياضيات"(MathWorld): FibonacciNumber. الوصول: 19 نوفمبر 2017.

[2] ttps://web.archive.org/web/20190130113151/http://www.quipus.it/english/Andean%20Calculators.pdf. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2019-01-30. {{استشهاد ويب}}: الوسيط |title= غير موجود أو فارغ (مساعدة)

[3] Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28–30, 1986. ISSN 0047-6269].

[4] Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.

[5] By modern convention, the sequence begins with F₀=0. The Liber Abaci began the sequence with F₁ = 1, omitting the initial 0, and the sequence is still written this way by some.

[6] The website [1] has the first 300 F_n factored into primes and links to more extensive tables. نسخة محفوظة 14 مارس 2018 على موقع واي باك مشين.

[7] Susantha Goonatilake (1998). Toward a Global Science. Indiana University Press. ص. 126. ISBN:9780253333889. مؤرشف من الأصل في 2020-01-25. {{استشهاد بكتاب}}: |archive-date= / |archive-url= timestamp mismatch (مساعدة)

[8] Donald Knuth (2006). The Art of Computer Programming: Generating All Trees—History of Combinatorial Generation; Volume 4. Addison-Wesley. ص. 50. ISBN:9780321335708. مؤرشف من الأصل في 2020-01-25. {{استشهاد بكتاب}}: |archive-date= / |archive-url= timestamp mismatch (مساعدة)

[9] Rachel W. Hall. Math for poets and drummers. Math Horizons 15 (2008) 10-11. نسخة محفوظة 12 فبراير 2012 على موقع واي باك مشين. ^{[وصلة مكسورة]}

[10] Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN:0-387-95419-8. Chapter II.12, pp. 404–405.

[11] Knott، Ron. "Fibonacci's Rabbits". جامعة سري كلية الهندسة والعلوم الفيزيائية. مؤرشف من الأصل في 2019-03-07.

[:0-12] ا ^ب "Strong Induction | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بالإنجليزية الأمريكية). Archived from the original on 2020-11-11. Retrieved 2020-12-02.

[S._Douady_and_Y._Couder_1996_255–274-13] S. Douady and Y. Couder (1996). "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF). Journal of Theoretical Biology. ج. 178 ع. 178: 255–274. DOI:10.1006/jtbi.1996.0026. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 أغسطس 2015. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)

[Jones_2006_544-14] Jones، Judy (2006). "Science". An Incomplete Education. Ballantine Books. ص. 544. ISBN:978-0-7394-7582-9. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط author-name-list parameters تكرر أكثر من مرة (مساعدة)

[A._Brousseau_1969_525–532-15] A. Brousseau (1969). "Fibonacci Statistics in Conifers". Fibonacci Quarterly ع. 7: 525–532.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

وصلة مكسورة

جزء من	مثلث باسكال^[1]
سُمِّي باسم	ليوناردو فيبوناتشي
يدرسه	Theory of Fibonacci Numbers ^(en)
تعريف الصيغة	${\begin{aligned}F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\!\ \\F_{1}=1,F_{2}=1\\{\text{or }}F_{0}=0,F_{1}=1\end{aligned}}$ $F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)$ $f(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$