دالة متجهية

دالة ذات قيمة متجهية ، والتي يشار إليها أيضًا باسم دالة متجهية ، هي دالة رياضية لمتغير واحد أو أكثر يكون مداها عبارة عن مجموعة من المتجهات متعددة الأبعاد أو متجهات لا نهائية الأبعاد . يمكن أن تكون مدخلات الدالة المتجهية عدداً أو متجهًا (أي أن أبعاد المجال يمكن أن تكون 1 أو أكبر من 1) ؛ لا يتم تحديد بُعد مجال الدالة بواسطة بُعد النطاق.

مثال: اللولبعدل

 
رسم بياني للدالة المتجهية r(Z) = 〈2 cos Z, 4 sin Z, Z

من الأمثلة الشائعة لدالة متجهية هي تلك التي تعتمد على متغير حقيقي واحد   ، غالبًا ما تمثل الوقت ، مما ينتج متجهًا   كنتيجة. من حيث متجهات الوحدة القياسية   لنظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تمثيل هذه الأنواع المحددة من الدوال المتجهية بواسطة علاقات مثل :

  •  

حيث   و  و   هي دوال إحداثيات للمتغير t ، ومنطلق هذه الدالة ذات القيمة المتجهية هو تقاطع مجال الوظائف   و   و   . يمكن تمثيل هذه الدوال المتجهية بطريقة مختلفة :

  •  

المتجه   له ذيله في الأصل ورأسه عند الإحداثيات التي يتم اعطائها بواسطة الدالة.

في المستوى (2D)، يمكننا تمثيل الدوال المتجهية كالآتي :

  •   أو
  •  

الحالة الخطيةعدل

في الحالة الخطية ، يمكن التعبير عن الدالة المتجهية بواسطة المصفوفات :

 

حيث   عبارة عن متجه أبعاده هي  ،   هو متجه مدخل أبعاده هي  ، و   عبارة عن مصفوفة أبعادها هي   ، و b متجه n × 1 للمعلمات .

تستعمل الحالة الخطية غالبًا في تحليل الانحدار.

مشتق دالة متجهية ثلاثية الأبعادعدل

يمكن اشتقاق العديد من الدوال المتجهية ، مثل الدوال ذات القيمة العددية ، ببساطة عن طريق اشتقاق الإحداثيات في نظام الإحداثيات الديكارتية.[1] وهكذا ، إذا

 

هي دالة متجهية ، إذن فإشتقاقها هو

 

يقبل مشتق المتجه التأويل الفيزيائي التالي: إذا كان   يمثل موضع جسيم ، فإن المشتق هو سرعة هذا الجسيم

 

وبالمثل ، فإن مشتق السرعة هو التسارع

 

انظر أيضًاعدل

مراجععدل

  1. ^ Serge Lang. Calculus of several variables. https://archive.org/details/calculusofsevera0000lang/mode/2up (باللغة الإنجليزية). الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); روابط خارجية في |عمل= (مساعدة)