دالة بيتا

دالة رياضياتية خاصة

في الرياضيات، دالة بيتا (بالإنجليزية: Beta function)‏، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

الخط المنسوب لدالة بيتا
الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y

لكل

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه.[1][2] يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص

عدل

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

 

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

 

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

 

حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

 
 
 
 
 
 


العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما

عدل

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

 

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

 

من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية. ومن ثم،

 

المشتقات

عدل

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

 

حيث   هي دالة ثنائي غاما

التكاملات

عدل

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب

عدل

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

 

وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

 

دالة بيتا غير الكاملة

عدل

تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

 

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

 

بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

 

خصائصها

عدل
 
 
 
 

حساب دالة بيتا

عدل

انظر أيضا

عدل

المراجع

عدل
  1. ^ "معلومات عن دالة بيتا على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-07-25.
  2. ^ "معلومات عن دالة بيتا على موقع id.ndl.go.jp". id.ndl.go.jp. مؤرشف من الأصل في 2019-09-02.

وصلات خارجية

عدل