دالة بيتا

Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)
الخط المنسوب لدالة بيتا
الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y

في الرياضيات، دالة بيتا (بالإنجليزية: Beta function)، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

لكل

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائصعدل

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

 

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

 

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

 

حيث (Gamma (x تساوي x! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

 
 
 
 
 
 


العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاماعدل

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

 

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

 

ومن ثم،

 

المشتقاتعدل

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

 

حيث   هي دالة ثنائي غاما

التكاملاتعدل

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريبعدل

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

 

وذلك لكل من x و y كبيرين ، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

 

دالة بيتا غير الكاملةعدل

تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

 

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

 

بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

 

خصائصهاعدل

 
 
 
 

حساب دالة بيتاعدل

انظر أيضاعدل

المراجععدل

  • قالب:Dlmf
  • M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)
  • قالب:Dlmf
  • Press، WH؛ Teukolsky، SA؛ Vetterling، WT؛ Flannery، BP (2007)، "Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials"، Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (الطبعة 3rd)، New York: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-88068-8 

وصلات خارجيةعدل