تقريب ستيرلينغ

في الرياضيات، تقريب ستيرلينغ (بالإنجليزية: Stirling's approximation)‏ (أو صيغة ستيرلينغ (بالإنجليزية: Stirling's formula)‏) هو صيغة رياضية تستخدم لتقريب قيم العاملي الكبيرة. سمي كذلك نسبة إلى عالم الرياضيات جيمس ستيرلينغ.

مقارنة بين تقريب ستيرلينغ من جهة (اللون الأحمر) ودالة غاما من جهة أخرى (اللون الأزرق). مُثلت دالة العاملي بنقاط على منحنى دالة غاما.

$\ln n!\cong n\ln n-n\,$

مصدر الصيغة

يمكن أن يُحصل بسرعة على أبسط شكل لتقريب ستيرلينغ، بالعمل على المجموع التالي:

$$\ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j$$

بحساب التكامل:

$$\sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.$$

انظر إلى قاعدة شبه المنحرف وإلى صيغة أويلر-ماكلورين وإلى عدد برنولي وإلى جداء واليس.

مصدر آخر لتقريب ستيرلينغ

يمكن التعبير عن دالة العاملي باستعمال دالة غاما كما يلي:

$$n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.$$

انظر إلى طريقة لابلاص.

صيغة ستيرلينغ بالنسبة لدالة غاما

بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية، يتوفر ما يلي:

$$n!=\Gamma (n+1),$$

حيث Γ هي دالة غاما.

لكن، دالة غاما هي دالة ليست معرفة على مجموعة الأعداد الصحيحة فقط، بل هي معرفة على مجموعة الأعداد العقدية كاملة، باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة.

$$\ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t.$$

التاريخ

اخترعت هذه الصيغة أول مرة من طرف عالم الرياضيات أبراهام دي موافر على الشكل التالي:

$n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.$ حيث constant هي ثابتة ما.

أعطى أبراهام دي موافر قيمة مقربة للوغاريتم الطبيعي لتلك الثابتة في شكل عدد جذري. أثبت ستيرلينغ فيما بعد أن هذه الثابتة هي بالتحديد ${\sqrt {2\pi }}$.

مثال

القيمة الفعلية ل‌15! هي 1307674368000، القيمة التقريبي هي 1300420000000 (الخطأ النسبي حوالي 0.006):

$ln(A(15))=15(ln(15)-1)+{\frac {1}{2}}(ln(2\pi )+ln(15))\approx 27.89371\Rightarrow 15!\approx A(15)=e^{ln(A(15))}\approx 1300420000000$