تفاضل وتكامل

فرع من الرياضيات

حساب التفاضل والتكامل[1] أو الحسبان (باللاتينية: Calculus) الذي يسمى في الأساس "حساب التفاضل والتكامل اللانهائي"، هو الدراسة الرياضية للتغير المستمر، بنفس الطريقة التي تكون فيها الهندسة هي دراسة الشكل والجبر هي دراسة تعميمات العمليات الحسابية.[2]

مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
مبرهنة رول
تفاضل وتكامل كسري

لديها فرعين رئيسيين، حساب التفاضل وحساب التكامل. يتعلق الأول بمعدلات التغيير الفورية، وميل المنحنيات، بينما يتعلق حساب التكامل بتراكم الكميات، والمساحات الموجودة أسفل المنحنيات أو بينها. يرتبط هذان الفرعان ببعضهما البعض من خلال المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ويستفيدان من المفاهيم الأساسية للتقارب بين المتسلسلات اللانهائية إلى حد محدد جيدًا.[3]

تم تطوير حساب التفاضل والتكامل اللانهائي بشكل مستقل في أواخر القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس.[4][5] اليوم، حساب التفاضل والتكامل له استخدامات واسعة في العلوم والهندسة والاقتصاد.[6]

في تعليم الرياضيات، يشير حساب التفاضل والتكامل إلى دورات التحليل الرياضي الأولي، والتي تكرس أساسًا لدراسة الدوال والحدود. تأتي كلمة (حساب calculi) من اللاتينية، والتي تعني في الأصل "حصاة صغيرة". نظرًا لاستخدام مثل هذه الوحدات الصغيرة جدا للتغيرات في الحساب، فقد تطور معنى الكلمة واليوم تعني عادةً طريقة حساب. لذلك يتم استخدامها لتسمية طرق محددة للحساب والنظريات ذات الصلة، مثل حساب القضايا، حساب ريتشي، حساب المتغيرات، حسابات اللامدا، وحساب العملية.

تاريخعدل

 
كتاب مخطوط عربي في علم الحساب والهندسة والفلك

يعتقد البعض أن علم التفاضل قد سبق التكامل لأن التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرخميدس الذي أدخل فكرة الخبرة المكتسبة والتي تمثل جزءا أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل، وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل آخرون لمتسلسلات شبيهة بمتسلسلة تايلور.

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة من العربية وتطوير علوم الرياضيات، الفيزياء، وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد إسحاق نيوتن. قال المؤرخ العالمي المشهور (يورانت ول) أن ثابت بن قرة أعظم علماء الهندسة المسلمين قد ساهم بنصيب وافر في تقدم الهندسة، وهو الذي مهد لايجاد علم التفاضل والتكامل كما استطاع أن يحل المعادلات الجبرية بالطرق الهندسية.

النهاياتعدل

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة   هي دالة حقيقية وأن   عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

 

أي أن الدالة   تكون قريبة جدا حسبما نريد من   عندما تقترب   من العدد   ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية  , عندما تؤول   إلى  , هي  ).

التفاضل والاشتقاقعدل

يتم اشتقاق التفاضل للدالة   من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

 
  • مشتقة الثابت:
 

عندما يكون a عددا ثابتا اذن

 
  • مشتقة دوال القوة:
 

اذا كان r عدد حقيقي اذن:

 

مثال على ذلك:  ,

 
  • مشتقة الدوال الأسية واللوغاريتمية:
 
 
 
 
 
 
 
  • مشتقة الدوال المثلثية العكسية:
 
 
 

التكاملعدل

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل غير المحدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال، المساحات، المنحنيات، مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل غير المحدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسيعدل

يعطى التكامل غير المحدود لتابع رياضي   بالعلاقة:

 
حيث
 

التكامل المحدودعدل

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

 

تطبيقاتعدل

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة والكيمياء والهندسة والاقتصاد والحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والأدبية. فيما يلي بعض الامثلة:

اقرأ أيضاعدل

المراجععدل

  1. ^ "A New Illustrated Science Dictionary (En/Ar)". www.ldlp-dictionary.com. مؤرشف من الأصل في 6 مايو 2019. اطلع عليه بتاريخ 06 مايو 2019. 
  2. ^ "Dictionary of the Terms of Education (En/Ar)". www.ldlp-dictionary.com. مؤرشف من الأصل في 6 مايو 2019. اطلع عليه بتاريخ 06 مايو 2019. 
  3. ^ DeBaggis، Henry F.؛ Miller، Kenneth S. (1966). Foundations of the Calculus. Philadelphia: Saunders. OCLC 527896. 
  4. ^ Boyer، Carl B. (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. OCLC 643872. 
  5. ^ Bardi، Jason Socrates (2006). The Calculus Wars : Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time. New York: Thunder's Mouth Press. ISBN 1-56025-706-7. 
  6. ^ Hoffmann، Laurence D.؛ Bradley، Gerald L. (2004). Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences (الطبعة 8th). Boston: McGraw Hill. ISBN 0-07-242432-X. 

وصلات خارجيةعدل