معادلة جبرية

في الرياضيات، المعادلة الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic equation)‏ أو معادلة متعددة الحدود (بالإنجليزية: Polynomial equation)‏ أو المعادلة الحدودية هي مساواة بين مقدارين جبريين يحوي أحدهما أو كلاهما متغيرا أو أكثر حيث القيمة العددية للمقدار الأول لا تساوي القيمة العددية للمقدار الثاني إلا مع قيم خاصة للمتغيرات.[1][2][3] على سبيل المثال، معادلة حدودية أحادية المتغير، هي معادلة تأخذ الشكل التالي:

حيث هن معاملات المعادلة. الهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول .

يقال عن متعددة للحدود أنها من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة ل تظهر في المعادلة هي واحد، وأنها من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة ل هي اثنين وهكذا دواليك. إذن، يقال عن متعددة للحدود أنها من الدرجة إذا كانت أعلى قوة ل هي . تنص المبرهنة الأساسية في الجبر على أن لكل معادلة حدودية من الدرجة يوجد عدد من الحلول (ذلك إذا احتُسبت الحلول المكررة أي التي يجب أن تعد مرتين). أضف إلى ذلك أن لكل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية حلولٌ مركبة مترافقة مع بعضها البعض مثنى مثنى. أي أنه يكون دائما هناك حل في شكل وحل آخر في شكل . أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك لا يبقى صحيحا.

مثالعدل

المبرهنة الأساسية في الجبرعدل

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:

فإن الحل هو ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:

و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل مكرر مرتين. كذلك إذا اعتبرنا

فإن الحل هو ولكنه مكرر مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة عدد من الحلول

طرق حل معادلات كثيرة الحدودعدل

المعادلة من الدرجة الأولىعدل

حل المعادلة:   هو   حيث  

ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا: 2x+5=10

لحلها نقوم أولا بالتخلص من الحد الثابت وذلك بإضافته معكوسه الجمعي إلى الطرفين، فيصبح

2x+5-5=10-5 أي 2x=5

بعدها نضرب الطرفين في المعكوس الضربي لمعامل x (أو ببساطة قسمة كلا الطرفين على العدد الموجود أمام x وهو (2)) وبهذا نحصل على x=2.5

المعادلة من الدرجة الثانيةعدل

لحل المعادلة:  , نحسب المميز   المعرف ب:  , ويكون للمعادلة حلان هما:

  •  
  •  .

المعادلة من الدرجة الثالثةعدل

القانون العام للجذورعدل

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة   بدلالة معاملاتها   كما يلي:

 

طريقة كاردانعدل

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.

هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطاة بدلالة   و  حلول المعادلة:  . وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.

صيغ كاردانعدل

بالنسبة للمعادلة:   نحسب  , ثم ندرس إشارته.

Δ موجبعدل

نضع

  •  
  •  

الحل الوحيد الحقيقي هو  .

و حلان عقديان مترافقان:

  •  
  •  

حيث  

Δ سالبعدل

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل  .

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

  •  
  •  
  •  

تفسير الطريقةعدل

الصيغة المختصرةعدل

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة:  ,

نضع:
 
لنحصل على الصيغة:
 
نضع الآن:
  الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد، لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
  تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
  شرط التبسيط يكون إذن:
  الذي يعطي من جهة:
  و من جهة أخرى:
  و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
  و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين   و  الآتية :
 
 
  و  هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
 

المعادلة من الدرجة الرابعةعدل

طريقة فيراريعدل

نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة:  

نقسم على   ونضع

 

لنصل إلى معادلة على صيغة :

 

معادلة تكتب:

 

نضيف

 

لطرفي المتساوية. فنحصل على:

 

نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:

 

من هاته النتيجة الأخيرة، نقوم بالنشر :

 

 

  (*)

الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.

الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية  . يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:

 

الشيء الذي يعطي، عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة   الآتية :

 

نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد  .

المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوقعدل

انظر إلى دالة خماسية وإلى مبرهنة آبل

طرق رقمية لحل معادلات كثيرة الحدودعدل

انظر أيضاًعدل

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن معادلة جبرية على موقع universalis.fr". universalis.fr. مؤرشف من الأصل في 6 أبريل 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ "معلومات عن معادلة جبرية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 17 يوليو 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ "معلومات عن معادلة جبرية على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)