تكامل مثلثي

Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (أبريل 2019)

في الرياضيات, تكون التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: trigonometric integrals)‏ هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيبعدل

 
رسم لتكامل جيب (x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل جيب و هما:

 
 

حيث   هو أصل   و التي تكون صفراً عندما  ; و   هو أصل   و التي تكون صفراً عندما  . يكون لدينا:

 

لاحظ بأن   هي دالة جيبية جوهرية sinc function و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون  , فأنه يُعرف بأسم تكامل دركليه.

في معالجة الإشارة, تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض التجاوزات و المصنوعات الرنينية ringing artifacts عند استعمال المرشح الجيبي الجوهري sinc filter، و تسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة low-pass filter.

إن ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة, فأنها توازي النقص الحادث في سلسلة فورييه, مما يؤدي إلى ظاهرة جيبس.

تكامل جيب التمامعدل

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام و هي:

 
 
 

حيث   هو أصل   و التي تكون صفراً عندما  . يكون لدينا:

 
 

تكامل الجيب الزائديعدل

يكون تكامل الجيب الزائدي integral كالتالي:

 

تكامل جيب التمام الزائديعدل

يكون تكامل جيب التمام الزائدي hyperbolic co كالتالي:

 

حيث أن   هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مجسم نيلسن اللولبيعدل

 
رسم مجسم نيلسن اللولبي

في الرياضيات, مجسم نيلسن اللولبي (بالإنجليزية: Nielsen's spiral)‏, و يسمى أيضاً بالمجسم اللولبي عن طريق مكاملة الجيب و جيب التمام (بالإنجليزية: sici spiral)‏, هو مجسم لولبي ذو معادلات بارامترية.

 
 

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

تفكيكعدل

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)عدل

 
 

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون  .

متسلسلات التقاربعدل

 
 

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم   المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان   يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقديعدل

تُسمى الدالة   بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

 

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى  . (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد   في هذه العبارة الجبرية).

انظر أيضاًعدل

معالجة الإشارةعدل

المراجععدل