أساليب رونج-كوتا

قائمة ويكيميديا

أساليب رونج - كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية.[1]

مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
مبرهنة رول
تفاضل وتكامل كسري

والتي تأخذ شكل

طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي المعادلات التفاضلية كما يليعدل

 

أساليب صريحةعدل

الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:

 

طريقة هيونعدل

طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):

 

طريقة رالستونعدل

طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:

 

طريقة عامة من الدرجة الثانيةعدل

 

طريقة كوتا الثالثةعدل

 

طريقة الترتيب الرابع التقليديةعدل

وهي الطريقة "الأصلية" لطريقة رونج-كوتا.

 

3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابععدل

هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم إقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).

 

أساليب ضمنيةعدل

تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لإقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1).

يتم إعطاء خطوة أقل من قبل

 
 
 

طريقة هيون-يولرعدل

أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي :

 

يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.

طريقة فلبرج RK1عدل

طريقة فلبرج [2] لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2 :

0
1/2 1/2
1 1/256 255/256
1/256 255/256 0
1/512 255/256 1/512

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة بوجاكي - شامبينعدل

طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :

0
1/2 1/2
3/4 0 3/4
1 2/9 1/3 4/9
2/9 1/3 4/9 0
7/24 1/4 1/3 1/8

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث ، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة فلبرجعدل

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :

0
1/4 1/4
3/8 3/32 9/32
12/13 1932/2197 −7200/2197 7296/2197
1 439/216 −8 3680/513 −845/4104
1/2 -8/27 2 −3544/2565 1859/4104 −11/40
16/135 0 6656/12825 28561/56430 −9/50 2/55
25/216 0 1408/2565 2197/4104 −1/5 0

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس ، والصف الثاني يعطي الحل الرابع .

طريقة كاش - كاربعدل

طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج :

0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
3/5 3/10 −9/10 6/5
1 −11/54 5/2 −70/27 35/27
7/8 1631/55296 175/512 575/13824 44275/110592 253/4096
37/378 0 250/621 125/594 0 512/1771
2825/27648 0 18575/48384 13525/55296 277/14336 1/4

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس ، والصف الثاني يعطي الحل الرابع .

طريقة دورمند-برنسعدل

0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
4/5 44/45 −56/15 32/9
8/9 19372/6561 −25360/2187 64448/6561 −212/729
1 9017/3168 −355/33 46732/5247 49/176 −5103/18656
1 35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84
35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84 0
5179/57600 0 7571/16695 393/640 −92097/339200 187/2100 1/40

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع .

الطرق الضمنيةعدل

باكورد يولرعدل

هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.

 

نقطة الوسط الضمنيةعدل

وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.

 

طرق غاوس-ليجندرعدل

وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:

 

مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:

 

طرق لوباتوعدل

هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي :

1. طريقة لوباتو IIIA : هي عبارة عن طريقة التجميع و تعرف باسم المعادلات التفاضلية :

معادلة من نوع أمر 2:

 

معادلة من نوع أمر 4:

 

2. طريقة لوباتو IIIB :

وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع :

معادلة من نوع أمر 2:

 

معادلة من نوع أمر 4:

 

3. طريقة لوباتو IIIC :

وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع :

معادلة من نوع أمر 2:

 

معادلة من نوع أمر 4:

 

طرق رادوعدل

طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي :

1. طريقة رادو IA : وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر

معادلة من نوع أمر 3:

 

معادلة من نوع أمر 5:

 

2. طريقة رادو IIA : وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر

معادلة من نوع أمر 3:

 

معادلة من نوع أمر 5:

خطأ رياضيات (وظيفة غير معروفة «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{c|ccc} \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6}}{1800} & -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\ \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6}}{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75}\\ 1 & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \\ \hline & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20170406082417/https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19690021375|تاريخ أرشيف=2017-04-06}}{36} & \frac{1}{9} \\ \end{array} }

المراجععدل

  1. ^ (PDF) https://web.archive.org/web/20190928013750/http://homepage.math.uiowa.edu/~ljay/publications.dir/Lobatto.pdf. مؤرشف من الأصل (PDF) في 28 سبتمبر 2019.  مفقود أو فارغ |title= (مساعدة)
  2. ^ Fehlberg، E. (1969-07-01). "Low-order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems". مؤرشف من الأصل في 6 أبريل 2017. 

المصادرعدل

  • Hairer، Ernst؛ Nørsett، Syvert Paul؛ Wanner، Gerhard (1993)، Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems، Berlin, New York: سبرنجر، ISBN 978-3-540-56670-0 .
  • Hairer، Ernst؛ Wanner، Gerhard (1996)، Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems، Berlin, New York: سبرنجر، ISBN 978-3-540-60452-5 .
  • Hairer، Ernst؛ Lubich، Christian؛ Wanner، Gerhard (2006)، Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (الطبعة 2nd)، Berlin, New York: سبرنجر، ISBN 978-3-540-30663-4 .