أساليب رونج-كوتا

قائمة ويكيميديا

أساليب رونج - كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية.[1]

والتي تأخذ شكل:

طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي المعادلات التفاضلية كما يلي

عدل
 

أساليب صريحة

عدل

الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:

 

طريقة هيون

عدل

طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):

 

طريقة رالستون

عدل

طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:

 

طريقة عامة من الدرجة الثانية

عدل
 

طريقة كوتا الثالثة

عدل
 

طريقة الترتيب الرابع التقليدية

عدل

وهي الطريقة «الأصلية» لطريقة رونج-كوتا.

 

3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابع

عدل

هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).

 

أساليب ضمنية

عدل

تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1).

يتم إعطاء خطوة أقل من قبل: 

 
 

طريقة هيون-يولر

عدل

أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:

 

يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.

طريقة فلبرج RK1

عدل

طريقة فلبرج [2] لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2 :

0
1/2 1/2
1 1/256 255/256
1/256 255/256 0
1/512 255/256 1/512

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :

0
1/2 1/2
3/4 0 3/4
1 2/9 1/3 4/9
2/9 1/3 4/9 0
7/24 1/4 1/3 1/8

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة فلبرج

عدل

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :

0
1/4 1/4
3/8 3/32 9/32
12/13 1932/2197 −7200/2197 7296/2197
1 439/216 −8 3680/513 −845/4104
1/2 -8/27 2 −3544/2565 1859/4104 −11/40
16/135 0 6656/12825 28561/56430 −9/50 2/55
25/216 0 1408/2565 2197/4104 −1/5 0

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:

0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
3/5 3/10 −9/10 6/5
1 −11/54 5/2 −70/27 35/27
7/8 1631/55296 175/512 575/13824 44275/110592 253/4096
37/378 0 250/621 125/594 0 512/1771
2825/27648 0 18575/48384 13525/55296 277/14336 1/4

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

0
1/5 1/5
3/10 3/40 9/40
4/5 44/45 −56/15 32/9
8/9 19372/6561 −25360/2187 64448/6561 −212/729
1 9017/3168 −355/33 46732/5247 49/176 −5103/18656
1 35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84
35/384 0 500/1113 125/192 −2187/6784 11/84 0
5179/57600 0 7571/16695 393/640 −92097/339200 187/2100 1/40

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

الطرق الضمنية

عدل

هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.

 

نقطة الوسط الضمنية

عدل

وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.

 

وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:

 

مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:

 

طرق لوباتو

عدل

هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:

1. طريقة لوباتو IIIA : هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية :

معادلة من نوع أمر 2:

 

معادلة من نوع أمر 4:

 

2. طريقة لوباتو IIIB :

وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

 

معادلة من نوع أمر 4:

 

3. طريقة لوباتو IIIC :

وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

 

معادلة من نوع أمر 4:

 

طرق رادو

عدل

طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:

1. طريقة رادو IA : وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر

معادلة من نوع أمر 3:

 

معادلة من نوع أمر 5:

 

2. طريقة رادو IIA : وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر

معادلة من نوع أمر 3:

 

المراجع

عدل
  1. ^ https://web.archive.org/web/20190928013750/http://homepage.math.uiowa.edu/~ljay/publications.dir/Lobatto.pdf. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2019-09-28. {{استشهاد ويب}}: الوسيط |title= غير موجود أو فارغ (مساعدة)
  2. ^ Fehlberg، E. (1 يوليو 1969). "Low-order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems". مؤرشف من الأصل في 2017-04-06. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الاستشهاد بدورية محكمة يطلب |دورية محكمة= (مساعدة)