مستخدم:Elsayed Taha/جبر خطي

الأنظمة الخطية

مجموعة المعادلات الخطية ذات العدد المحدود من المتغيرات مثل x₁, x₂, ..., x_n ، أو x, y, ..., z تسمى نظام المعادلات الخطية أو النظام الخطي.

وتشكل أنظمة المعادلات الخطية جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي. تاريخيًا ساهم البحث عن حل لهذه المعادلات في تطوير الجبر الخطي والمصفوفات. في الترميز الحديث للجبر الخطي الذي يستخدم فضاءات المتجهات والمصفوفات، يمكن التعامل مع العديد من المسائل على أنها أنظمة خطية.

كمثال: إذا كانت المعادلات التالية

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}$

(S)

نظام خطي.

لهذا النظام، يمكن للمرء أن يمثل معاملاته بالمصفوفة التالية

$M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right].$

وناتِجه بالمتجه التالي

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}.$

بفرض أن T هو التحويل الخطي المرتبط بالمصفوفة M فإن حل النظام ( S ) هو المتجه

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

بحيث أن

$T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,$

وقيم X هي المطلوبة وهي عبارة عن الصورة العكسية لـ v في التحويل الخطي T

بفرض أن (S′) هو نظام متجانس مرتبط بالنظام أعلاه، بحيث أن قيم الجانب الأيمن من معادلاته هي الصفر:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}$

(S′)

حلول (S′) هي بالضبط عناصر نواة التحويل الخطي T أو بالمساواة عناصر نواة المصفوفة M

الحذف الغاوسي يتضمن إجراء عمليات صف أولية على المصفوفة الممتدة

$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

لتحويلها لشكل دَرَجِي صفي مخفض (Reduced row echelon form). عمليات الصف هذه لا تغير مجموعة حلول نظام المعادلات. في المثال، شكل الدَرَجْ المختزل هو

$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],$

ومنه نرى أن النظام (S) له الحل الفريد التالي

${\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}$

وبسبب استخدامنا لهذا الشكل المصفوفي لوصف الأنظمة الخطية فبالتبعية يمكننا تطبيق نفس الأساليب لحل الأنظمة الخطية ولعمليات أخرى عديدة على المصفوفات والتحويلات الخطية، مثل حساب رتبة المصفوفة وحساب النواة وعكس المصفوفة. [[تصنيف:تحليل عددي]] [[تصنيف:جبر خطي]]