افتح القائمة الرئيسية

نظام معادلات خطية

نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations) هي مجموعة من المعادلات الخطية, تضم نفس المجموعة من المتغيرات.[1][2] على سبيل المثال:

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

الشكل العامعدل

 

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:

 

2. معادلات مصفوفة:

 
 

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

[1]

مجموعة الحلولعدل

 
مجموعة حلول المعادلتين xy = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

قراءة هندسيةعدل

الشكل العامعدل

 
مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائصعدل

الاستقلاليةعدل

انظر إلى استقلال خطي.

 
المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

التناسقعدل

 
المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

  و   غير متناسقتين.

التكافؤعدل

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

  و   متكافئتان لأن  .

حلحلة النظام الخطيعدل

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيراتعدل

 
 
 

تبسيط الصفوفعدل

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامرعدل

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

 

تعطى بما يلي:

 

طرق أخرىعدل

طريقة الجمععدل

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

 

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

 

أي أن:

 

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

 

طريقة التعويضعدل

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

 

نأخذ   فنجد :

 

أي :

 

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

 

أي أن :

 

هكذا :

  و  

الأنظمة المتجانسةعدل

انظر أيضا إلى معادلة تفاضلية متجانسة.

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

 

مجموعة الحلولعدل

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

مراجععدل

  1. ^ "معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع d-nb.info". d-nb.info. 
  2. ^ "معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع enciclopedia.cat". enciclopedia.cat. مؤرشف من الأصل في 28 يناير 2018. 

انظر أيضاعدل