متعدد اللوغاريتمات

في الرياضيات، يعد متعدد اللوغاريتمات (بالإنجليزية: Polylogarithm)‏، المعروف أيضًا باسم دالة جونكيير نسبة لألفريد جونكيير (Alfred Jonquière)، دالة خاصة Li_s(z) من الرتبة s والمدخل z. فقط للقيم الخاصة لـ s ، يُخْتَزَلْ متعدد اللوغاريتمات إلى دالة ابتدائية مثل اللوغاريتم الطبيعي أو دالة كسرية. في الإحصاء الكمي، تظهر دالة متعدد اللوغاريتمات على أنها الشكل المغلق لتكاملات توزيع فيرمي-ديراك وتوزيع بوز-آينشتاين، وتُعرف أيضًا باسم تكامل فيرمي-ديراك أو تكامل بوز-آينشتاين على الترتيب. في الكهروديناميكا الكمية، يظهر متعدد اللوغاريتمات من الرتبة الطبيعية العدد في حساب العمليات التي تمثلها مخططات فاينمان عالية الرتبة.

• دوال متعدد اللوغاريتمات في المستوي المركب
• 
  Li _-3(z)
• 
  Li _-2(z)
• 
  Li _-1(z)
• 
  Li₀(z)
• 
  Li₁(z)
• 
  Li₂(z)
• 
  Li₃(z)

متعدد اللوغاريتمات

معلومات عامة

صنف فرعي من	دالة متعددة القيم
تعريف الصيغة	$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}$
مفكوك متسلسلة القوى	$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots$

تُعرَّف دالة متعدد اللوغاريتمات بمتسلسلة القوى بدلالة z، وهي أيضًا متسلسلة دركليه بدلالة s:

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots$

هذا التعريف صالح للرتبة المركبة الاختيارية s ولجميع المداخل المركبة z ذات |z| < 1؛ يمكن أن يمتد إلى |z| ≥ 1 من خلال عملية الامتداد التحليلي. (هنا يُفهم المقام k^s على أنه exp(s ln k)). تتضمن الحالة الخاصة s = 1 اللوغاريتم الطبيعي العادي، Li₁(z) = −ln(1−z)، بينما تسمى الحالات الخاصة s = 2 و s = 3 ثنائي اللوغاريتم (Dilogarithm) (يشار إليه أيضًا باسم دالة سبنس Spence) و ثلاثي اللوغاريتمات (Trilogarithm) على الترتيب. يأتي اسم الدالة من حقيقة أنه يمكن تعريفها أيضًا على أنها تكامل متكرر لنفسها:

$\operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt$

وبالتالي فإن متعدد اللوغاريتمات هو تكامل دالة تتضمن اللوغاريتم، وما إلى ذلك. بالنسبة للرتب الصحيحة السالبة s، فإن متعدد اللوغاريتمات هو دالة كسرية.