فجوة أولية

الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتابعين. الفجوة الأولية النونية، والمشار إليها ب $g_{n}$ أو $g(p_{n})$ هي الفرق بين $p_{n}$ و $p_{n+1}$ ، أي :

توزيع الأعداد الأولية حتى 1.6 مليار. تحدث القمم عند مضاعفات الرقم 6.^[1]

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$

لدينا $g_{1}=1$ ، و $g_{3}=g_{2}=2$ ، $g_{4}=4.$ و تمت دراسة المتتالية ( $g_{n}$ ) على نطاق واسع ؛ ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة والحدسيات دون إجابة.

أول 60 فجوة أولية هي:

1، 2، 2، 4، 2، 4، 2، 4، 6، 2، 6، 4، 2، 4، 6، 6، 2، 6، 4، 2، 6، 4، 6، 8، 4، 2، 4، 2، 4، 14، 4، 6، 2، 10، 2، 6، 6، 4، 6، 6، 2، 10، 2، 4، 2، 12، 12، 4، 2، 4، 6، 2، 10، 6، 6، 6، 2، 6، 4، 2،...^[2]

من خلال التعريف الذي أعطيناه ل

g_{n}

، يمكن كتابة أي عدد أولي على الشكل الآتي :

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.$

ملاحظات بسيطة عدل

أول وأصغر فجوة أولية هي بحجم 1، وهي فجوة بين 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد، و 3، أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأولية الأخرى هي زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية بحجم 2 : الفجوات $g_{2}$ و $g_{3}$ بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.

لأي عدد صحيح، العاملي، والذي يرمز له ب $n!$ هو ناتج ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر أو تساوي $n$ . إذاً المتتالية :

$n!+2,n!+3,\ldots ,n!+n$

العدد الأول في هذه المتتالية يقبل القسمة على 2، والعدد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا... وبالتالي، فهذه متتالية بحجم $n-1$ من الأعداد الصحيحة المؤلف المتتالية، وهذه ببساطة فجوة بين الأعداد الأولية، طولها $n$ على الأقل. ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة للغاية بشكل إستعباطي، أي أنه بالنسبة لأي عدد صحيح $N$ ، يوجد عدد صحيح موجب $m$ بحيث $g_{m}\geq N$ .

ومع ذلك، يمكن أن تحدث الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية عند عدد أصغر بكثير من $n!$ على سبيل المثال، أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 تحدث بين الأعداد الأولية 523 و 541، في حين أن $15!$ هو عدد كبير بشكل شاسع $1307674368000$ .

نتائج عددية عدل

عادة ما يُطلق على النسبة ${\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}$ «ميزة الفجوة $g_{n}$ ».

نقول أن $g_{n}$ هي فجوة قصوى، إذا وإذا كان فقط $g_{m}<g_{n}$ لكل $m<n$ ، في أغسطس 2018 وجد برتيل نيمان أكبر فجوة قصوى وتحتوي على 1550 رقم، تحدث هذه الفجوة بعد العدد الأولي 18361375334787046697.^[3] يمكن الإطلاع على فجوات قصوى أخرى في OEIS.

هذه قائمة الفجوات القصوى :

الأعداد من 1 إلى 80

الأعداد من 1 إلى 27
#	g_n	p_n	n
1	1	2	1
2	2	3	2
3	4	7	4
4	6	23	9
5	8	89	24
6	14	113	30
7	18	523	99
8	20	887	154
9	22	1,129	189
10	34	1,327	217
11	36	9,551	1,183
12	44	15,683	1,831
13	52	19,609	2,225
14	72	31,397	3,385
15	86	155,921	14,357
16	96	360,653	30,802
17	112	370,261	31,545
18	114	492,113	40,933
19	118	1,349,533	103,520
20	132	1,357,201	104,071
21	148	2,010,733	149,689
22	154	4,652,353	325,852
23	180	17,051,707	1,094,421
24	210	20,831,323	1,319,945
25	220	47,326,693	2,850,174
26	222	122,164,747	6,957,876
27	234	189,695,659	10,539,432

الأعداد من 28 إلى 54
#	g_n	p_n	n
28	248	191,912,783	10,655,462
29	250	387,096,133	20,684,332
30	282	436,273,009	23,163,298
31	288	1,294,268,491	64,955,634
32	292	1,453,168,141	72,507,380
33	320	2,300,942,549	112,228,683
34	336	3,842,610,773	182,837,804
35	354	4,302,407,359	203,615,628
36	382	10,726,904,659	486,570,087
37	384	20,678,048,297	910,774,004
38	394	22,367,084,959	981,765,347
39	456	25,056,082,087	1,094,330,259
40	464	42,652,618,343	1,820,471,368
41	468	127,976,334,671	5,217,031,687
42	474	182,226,896,239	7,322,882,472
43	486	241,160,624,143	9,583,057,667
44	490	297,501,075,799	11,723,859,927
45	500	303,371,455,241	11,945,986,786
46	514	304,599,508,537	11,992,433,550
47	516	416,608,695,821	16,202,238,656
48	532	461,690,510,011	17,883,926,781
49	534	614,487,453,523	23,541,455,083
50	540	738,832,927,927	28,106,444,830
51	582	1,346,294,310,749	50,070,452,577
52	588	1,408,695,493,609	52,302,956,123
53	602	1,968,188,556,461	72,178,455,400
54	652	2,614,941,710,599	94,906,079,600

الأعداد من من 55 إلى 80
#	g_n	p_n	n
55	674	7,177,162,611,713	251,265,078,335
56	716	13,829,048,559,701	473,258,870,471
57	766	19,581,334,192,423	662,221,289,043
58	778	42,842,283,925,351	1,411,461,642,343
59	804	90,874,329,411,493	2,921,439,731,020
60	806	171,231,342,420,521	5,394,763,455,325
61	906	218,209,405,436,543	6,822,667,965,940
62	916	1,189,459,969,825,483	35,315,870,460,455
63	924	1,686,994,940,955,803	49,573,167,413,483
64	1,132	1,693,182,318,746,371	49,749,629,143,526
65	1,184	43,841,547,845,541,059	1,175,661,926,421,598
66	1,198	55,350,776,431,903,243	1,475,067,052,906,945
67	1,220	80,873,624,627,234,849	2,133,658,100,875,638
68	1,224	203,986,478,517,455,989	5,253,374,014,230,870
69	1,248	218,034,721,194,214,273	5,605,544,222,945,291
70	1,272	305,405,826,521,087,869	7,784,313,111,002,702
71	1,328	352,521,223,451,364,323	8,952,449,214,971,382
72	1,356	401,429,925,999,153,707	10,160,960,128,667,332
73	1,370	418,032,645,936,712,127	10,570,355,884,548,334
74	1,442	804,212,830,686,677,669	20,004,097,201,301,079
75	1,476	1,425,172,824,437,699,411	34,952,141,021,660,495
76	1,488	5,733,241,593,241,196,731	135,962,332,505,694,894
77	1,510	6,787,988,999,657,777,797	160,332,893,561,542,066
78	1,526	15,570,628,755,536,096,243	360,701,908,268,316,580
79	1,530	17,678,654,157,568,189,057	408,333,670,434,942,092
80	1,550	18,361,375,334,787,046,697	423,731,791,997,205,041

نتائج متقدمة عدل

الحد الأعلى عدل

تنص مسلمة برنارد على أنه يوجد دائما عدد أولي بين $k$ و $2k$ ، وهذا يعني أن $p_{n+1}<2p_{n}$ وبالتالي $g_{n}<p_{n}$ .

تم إثبات مبرهنة الأعداد الأولية عام 1852، والتي تنص على أن متوسط الفجوة بين عددين أوليين متتابعين هو تقريبا $\ln x$ بالنسبة لعدد كبير $x$ . الفجوة الحقيقية قد تختلف عن هذه النتيجة ومع ذالك يمكن للمرئ أن يستنتج منها الآتي :

لكل $\epsilon >0$ ، يوجد عدد $N$ ، بحيث لكل $n>N$ لدينا :

$g_{n}<p_{n}\epsilon$ .

يمكن للمرء أيضًا أن يستنتج أن الفجوات تصبح أصغر بشكل استعباطي مقارنةً مع حجم الأعداد الأولية : فحاصل القسمة :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.$

في عام 2005 قام كل من دانيال غولدستون ويانوس بينتز وسيم يلدريم بإثبات الآتي :

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0$

وبعد سنتين قاموا بتحسين هذه النتيجة إلى :

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$

وفي عام 2013 أثبت يتانغ تشانغ أن هناك على الأقل فجوة الأولية بحجمٍ أقل من سبعين مليون، بحيث أنها تتكرر عدداً لانهائياً من المرات، أي أن :

$\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7}$

الحد الأدنى عدل

في عام 1931، قام إريك ويستزينثيوس بإثبات أن الفجوات الأولية القصوى تنموا بشكل أسرع من اللوغاريتمي، أي أن :

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$

في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت $c>0$ ، بحيث المتفاوتة الآتية :

$g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}$

صحيحة من أجل عدد لانهائي من قيم $n$ ، محسناً نتائج بول إيردوس و ويستزينثيوس، أثبت لاحقا أنه يمكن ل $c<e^{\gamma }$ , بحيث $\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10000 دولار لإثبات أو دحض أن الثابت $c$ يمكن أن يكون كبيراً بشكل استعباطي. تم إثبات صحة ذلك في عام 2014 من طرف فورد-جرين-كونياجين-تاو، وبشكل مستقل، جيمس ماينارد^[4]، وتم تحسين النتيجة إلى^[5]

$g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}$

متأثراً بجائزة إيردوس الأصلية، عرض تيرنس تاو جائزة قدرها 10000 دولار أمريكي لمن أثبت أن $c$ يمكن أن يأخذ كبيراً بشكل استعباطي في هذه المتفاوتة.

حدسيات عن الفجوات الأولية عدل

يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة $g_{n}$ تستوفي المعادلة الآتية:

$g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n})$

بحيث ترمز $O$ إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :

$g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).$

تنص حدسية فيروزباخت على أن $p_{n}^{1/n}$ هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :

$p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}$ لكل $n\geq 1$

إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ تستوفي المتفاوتة $g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}$ لكل $n>4$ ^[6] هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة $g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}$ صحيحة لعدد لانهائي من $n$ ، لكل $\varepsilon >0$ ، بحيث $\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. وفي الوقت نفسه ، حدسية أوبيرمان هي أضعف من حدسية كرامر. والتي تنص على أن حجم الفجوة الأولية هي في حدود :